[Mates oposición]

En un sistema de coordenadas ortogonales se considera la curva C: \( x=2 \), \( y^2+z^2=4 \). Sea \( C' \) la interseccion del lugar de las rectas que cortan a \( C \) y que pasan por \( V(0,0,1) \) y del lugar de las rectas paralelas al plano \( XOY \) que cortan al eje \( OZ \) y a la curva \( C \). Se pide: Estudiar la proyección ortogonal de \( C' \) sobre el plano XOZ.
Ayuda para resolverlo, ¿Cómo saco las ecuaciones paramétricas de \( C' \)?
Mensaje corregido desde la administración.

[delmar]

Hola

La curva C es una circunferencia en el plano x=2 cuyo centro es (2,0,0) y de radio 2 es conveniente hacer un croquis. La primera superficie es una superficie cónica con vértice V=(0,0,1) y directriz C, como una guía las únicas rectas la segunda superficie que también son rectas de la primera (son parte de C') son las rectas determinadas por el punto V y \( (2, \sqrt[ ]{3},1) \) y por  el punto V y \( (2,- \sqrt[ ]{3},1) \) ten en cuenta también que los puntos (2,0,2) y (2,0,-2) pertenecen a C' creo que con eso se vislumbra la solución.



Saludos

[Fernando Revilla]

    También te puede ser útil http://fernandorevilla.es/blog/2015/01/30/superficies-regladas/ donde aparecen formas generales de hallar ecuaciones de conos y cilindros.

[Luis Fuentes]

Hola

En un sistema de coordenadas ortogonales se considera la curva C: \( x=2 \), \( y^2+z^2=4 \). Sea \( C' \) la interseccion del lugar de las rectas que cortan a \( C \) y que pasan por \( V(0,0,1) \) y del lugar de las rectas paralelas al plano \( XOY \) que cortan al eje \( OZ \) y a la curva \( C \). Se pide: Estudiar la proyección ortogonal de \( C' \) sobre el plano XOZ.
Ayuda para resolverlo, ¿Cómo saco las ecuaciones paramétricas de \( C' \)?
Mensaje corregido desde la administración.

Un esbozo más detallado:

- Calcula la ecuación implícita del cono que se obtiene uniendo el vértice \( V(0,0,1) \) con la curva \( C \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con \( V \) es en paramétricas:

\( (x,y,z)=(0,0,1)+t(x_0,y_0,z_0-1) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+4(z_0-1)^2-3x_0^2+4x_0(z_0-1)=0 \)

 Por tanto la ecuación del cono es:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)

 - Calcula la ecuación implícita de la superficie que unen la curva dada con el eje \( OZ \) por rectas paralelas al plano \( XY \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con el eje \( OZ \) paralela al plano \( XY \) es:

\( (x,y,z)=(0,0,z_0)+t(x_0,y_0,0) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+x_0^2z_0^2=4x^2 \)

 Por tanto la ecuación de la segunda superficie es:

\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 - Se trata de hallar la intersección de estas dos superficies:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)
\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 y proyectarla ortogonalmente sobre el plano \( XZ \). Para ello basta eliminar la variable \( y \) restando ambas ecuaciones:

\(  4(z-1)^2+4x(z-1)-x^2(z^2-1)=0 \)

 Equivale a:

\( (z-1)(4(z-1)+4x-x^2(z+1))=0 \)

 y así se desdobla en las curvas:

\( z-1=0 \)
\( 4(z-1)+4x-x^2(z+1)=0 \)

 Un gráfico de la situación:


 En verde el cono; en azul la otra superficie; en negro la curva original; en rojo la curva intersección.

Saludos.

[hméndez]

Hola

En un sistema de coordenadas ortogonales se considera la curva C: \( x=2 \), \( y^2+z^2=4 \). Sea \( C' \) la interseccion del lugar de las rectas que cortan a \( C \) y que pasan por \( V(0,0,1) \) y del lugar de las rectas paralelas al plano \( XOY \) que cortan al eje \( OZ \) y a la curva \( C \). Se pide: Estudiar la proyección ortogonal de \( C' \) sobre el plano XOZ.
Ayuda para resolverlo, ¿Cómo saco las ecuaciones paramétricas de \( C' \)?
Mensaje corregido desde la administración.

Un esbozo más detallado:

- Calcula la ecuación implícita del cono que se obtiene uniendo el vértice \( V(0,0,1) \) con la curva \( C \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con \( V \) es en paramétricas:

\( (x,y,z)=(0,0,1)+t(x_0,y_0,z_0-1) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+4(z_0-1)^2-3x_0^2+4x_0(z_0-1)=0 \)

 Por tanto la ecuación del cono es:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)

 - Calcula la ecuación implícita de la superficie que unen la curva dada con el eje \( OZ \) por rectas paralelas al plano \( XY \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con el eje \( OZ \) paralela al plano \( XY \) es:

\( (x,y,z)=(0,0,z_0)+t(x_0,y_0,0) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+x_0^2z_0^2=4x^2 \)

 Por tanto la ecuación de la segunda superficie es:

\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 - Se trata de hallar la intersección de estas dos superficies:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)
\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 y proyectarla ortogonalmente sobre el plano \( XZ \). Para ello basta eliminar la variable \( y \) restando ambas ecuaciones:

\(  4(z-1)^2+4x(z-1)-x^2(z^2-1)=0 \)

 Equivale a:

\( (z-1)(4(z-1)+4x-x^2(z+1))=0 \)

 y así se desdobla en las curvas:

\( z-1=0 \)
\( 4(z-1)+4x-x^2(z+1)=0 \)

 Un gráfico de la situación:


 En verde el cono; en azul la otra superficie; en negro la curva original; en rojo la curva intersección.

Saludos.

¡Muy bien Luis!...pero seria preferible dejar la curva negra en rojo por ser también intersección de superficies..

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¡Muy bien Luis!...pero seria preferible dejar la curva negra en rojo por ser también intersección de superficies..

La he dejado en negro para dejar claro que era la curva original que daba lugar a la construcción de las superficies. No obstante si quiero enfatizar que en el resultado algebraico aparece como intersección.

Al eliminar la variable \( y \) en:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)
\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \) (*)

y operar quedaba:

\( (z-1)(4(z-1)+4x-x^2(z+1))=0 \)

que se desdobla en las curvas:

\( z-1=0 \)
\( 4(z-1)+4x-x^2(z+1)=0 \)

 La segunda todavía factoriza como:

\( (x-2)(-2+x+2z+x+z)=0 \)

 y por tanto corresponde a la recta:

\( x=2 \)

 y la hipérbola:

\(  -2+x+2z+xz=0 \)

 Ahora observamos un detalle. Si vamos a la ecuación (*) tenemos:

\( 4y^2=x^2(4-z^2) \)

 Por tanto para que realmente las curvas obtenidas sean proyección de la curva intersección tiene que cumplirse que \( 4-z^2\geq 0 \).

- Para la recta \( z=1 \) eso ocurre siempre.
- Para la recta \( x=2 \) eso ocurre cuando \( z\in [-2,2] \) y por eso corresponde justo al segmento proyección de la circunferencia original sobre el plano \( XZ \).
- Por último en la hipérbola esto ocurre cuando \( z\in [-2,2] \) y \( x\geq 2/3 \) ó x<-6. En ese sentido en el dibujo me ha faltado otra rama de la intersección cuando \( x<-6 \). Si tengo tiempo lo completo.

Saludos.