[Michel]

Dos triángulos ABC y DEF  están inscritos en la misma circunferencia de modo que AD, BE y CF concurren en I.  Demostrar que si I es el incentro del triángulo ABC, entonces I es el  ortocentro del DEF.

[Michel]

Si I es el incentro del triángulo ABC, es evidente que AF, BD y CE son sus bisectrices.

Para demostrar que I es el ortocentro del triángulo DEF habrá que demostrar que aquellas rectas son las alturas de éste.

Por ejemplo, que BD es perpendicular a AC.

Puede hacerse haciendo uso de ángulos en la circunferencia (inscritos, interiores,...)

Adjunto una figura para dar facilidades.

Ánimo y saludos.

[Michel]

Hay un error en mi mensaje anterior.
Donde dice "BD es perpendicular a AC" debe decir "CF perpendicular a DE"

Es fácil demostrar que D es el punto medio del arco BC, por ser AD la bisectriz del ángulo CAB. Igualmente, E es el punto medio de CA y F los de AB. Entonces
arc BD=arc DC=a,  arc CE=arc EA=b,  arc AF=arc FB=c
Por tanto a+b+c=180º

Si P es el punto de intersección de CF y DE, el ángulo EPC es interior en la circunferencia y vale áng EPC=1/2(arc CE+arc DF)=1/2(b+a+c)=90º. Luego CF es una altura de DEF.

Se demuestra análogamente para otra altura. Luego I es el ortocentro de DEF.