[Michel]

Sea ABC un triángulo de área unidad. Sean D el simétrico de C respecto de A, E el simétrico de D respecto de B y F el simétrico de E respecto de C. a) Hallar el área de EFD. b) Demostrar que ABC y CFD son semejantes.

Se ruega la figura.

[Héctor Manuel]

Veamos primero la semejanza:  Como BD=BE y DA=AC, entonces AB es el segmento que une los puntos medios de los lados DC y DE del triàngulo DCE. Por tanto AB=CE/2 y AB es paralelo a CE.  Entonces AB es paralelo a FE.

De la misma forma se tiene que CB es paralelo a FD y CB=FD/2.

Como AC es paralelo a sì mismo, entonces los lados del triángulo ABC son paralelos a los de CFD y de ahì se deduce la semejanza.

Por otra parte:
FDE=DFC+ABC+ABD+CBE...(*)

1) Por la semejanza, \( \displaystyle\frac{FDC}{ABC}=4 \), ya que la razón de semejanza es 2 y ABC=1.

2) ABD=ABC=1, ya que tienen la misma base y la misma altura.

3) EFD=4EBC ya que ambos triàngulos son semejantes y la razòn de semejanza es 2 (la semejanza se sigue de que CE=FE/2 y EB=ED/2).

Sustituyendo en (*): FDE=4+1+1+EFD/4, de donde 3EFD/4=6.   Es decir, EFD=8

Saludos.

[Michel]

Hola hector manuel.

Me parece muy bien tu solución.

Te propongo esto: ¿por qué no lo haces siguiendo el orden del enunciado, es decir, hallando primero el área y demostrando después la semejanza?

Me encanta intentar hacer un mismo problema de varias formas. ¿A ti no?

Saludos.

[Héctor Manuel]

Te propongo esto: ¿por qué no lo haces siguiendo el orden del enunciado, es decir, hallando primero el área y demostrando después la semejanza?

Huy!  Eso lo veo más complicado... veamos:

2) ABD=ABC=1, ya que tienen la misma base y la misma altura.

3) EFD=4EBC ya que ambos triàngulos son semejantes y la razòn de semejanza es 2 (la semejanza se sigue de que CE=FE/2 y EB=ED/2).

Esto es cierto sin haber demostrado que ABC y CFD son semejantes.

Por otra parte, \( FCD=\displaystyle\frac{FC*H}{2} \) donde \( H \) es la altura de FCD. Si \( h \) es la altura de EBC desde B, entonces \( \dfrac{H}{h}=\dfrac{ED}{EB}=2 \), de donde \( H=2h \).  Pero también es \( FC=CE \), de modo que \( FCD=\dfrac{CE*2h}{2}=2\left(\dfrac{CE*h}{2}\right)=2CEB=2\displaystyle\frac{EFD}{4}=\displaystyle\frac{EFD}{2} \) (esto último es el (2) de la cita)

Por tanto \( FDE=\displaystyle\frac{FDE}{2}+ABC+ABD+\displaystyle\frac{FDE}{4}=\displaystyle\frac{3}{4}FDE+1+1 \), de donde \( FDE=8 \).

Para la parte (b):

Como BD=BE y DA=AC, entonces AB es el segmento que une los puntos medios de los lados DC y DE del triàngulo DCE. Por tanto AB=CE/2 y AB es paralelo a CE.  Entonces AB es paralelo a FE.

De la misma forma se tiene que CB es paralelo a FD y CB=FD/2.

Como AC es paralelo a sì mismo, entonces los lados del triángulo ABC son paralelos a los de CFD y de ahì se deduce la semejanza.

Listo.

Me encanta intentar hacer un mismo problema de varias formas. ¿A ti no?

Por supuesto.  De hecho te tengo una propuesta.

Saludos.