Hola
Tengo que probar esto: Sea \( C = V_{P}(F) \) con \( F = GL \)con \( L, G \in \mathbb{C}[X, Y, Z] \). Prueba que para todo punto \( P \in C \) tal que \( P \in V_{P}(L) ∩ V_{P}(G) \), P es singular (en C).
Ten en cuenta que si \( P\in V(G)\cap V(L) \) entonces \( G(P)=L(P)=0 \). Entonces para cualquier derivada parcial (por ejemplo respecto a \( X \)):
\( \dfrac{\partial F}{\partial X}(P)=\dfrac{\partial L}{\partial X}(P)\cdot G(P)+L(P)\cdot \dfrac{\partial G}{\partial X}(P)=0+0=0 \).
Sea ahora \( Q \in V_{P}(L) \), \( Q \not\in V_{P}(G) \) y supón que L tiene grado uno. Prueba que \( Q \in C \) no es singular y que \( L \) es tangente a \( C \) en \( Q \).
Que \( Q \) es no singular es consecuencia del mismo cálculo de parciales que te indiqué antes. Tendrías esta vez que \( G(P)\neq 0 \) pero \( L(P)=0 \):
\( \dfrac{\partial F}{\partial X}(P)=\dfrac{\partial L}{\partial X}(P)\cdot G(P)+L(P)\cdot \dfrac{\partial G}{\partial X}(P)=\dfrac{\partial L}{\partial X}(P)\cdot G(P) \).
Como \( L \) es de grado \( 1 \), \( L(X,Y,Z)=aX+by+cZ \), y \( \left(\dfrac{\partial L}{\partial X}(P),\dfrac{\partial L}{\partial Y}(P),\dfrac{\partial L}{\partial Z}(P)\right)=(a,b,c)\neq (0,0,0) \) el punto es no singular.
Además por lo mismo \( P \) si es punto singular de \( V(LG-LG(P)) \) y por hay tangencia en \( P \) entre la variedades \( V(LG) \) y \( V(LG(P))=V(L) \).
Saludos.
