Hola.
Es sencillo comprobar que las siguientes son unas ecuaciones paramétricas de la elipse.
\[ x=a\cos t \]
\[ y=b\sin t \]
Sus derivadas:
\[ x'=-a\sin t \]
\[ y'=b\cos t \].
Por lo que las ecuaciones paramétricas de una recta tangente a la elipse en el punto definido por el parlamento \[ t \] serán:
\[ x_r=a\cos t-s(a\sin t) \]
\[ y_r=b\sin t +s(b\cos t) \]
Multiplicando la primera por \[ b\cos t \], la segunda por \[ a\sin t \] y sumando:
\[ b x_r\cos t+ay_r\sin t=ab \]
Haciendo \[ x_r=0 \] te saldrá la altura del triángulo en \[ y_r=\displaystyle\frac{b}{\sin t} \] y haciendo \[ y_r=0 \] te saldrá la base \[ x_r=\displaystyle\frac{a}{\cos t} \].
Por lo que el área a minimizar sería la expresión:
\[ A(t) =\displaystyle\frac{ab}{|2\sin t\cos t|} =\displaystyle\frac{ab}{|sin 2t|} \]
Que alcanzará un mínimo cuando el denominador sea máximo, es decir cuando \[ \sin 2t=\pm{1} \].
¿Puedes concluir?
Un saludo.
