Autor Tema: Demostrar existencia de una recta tangente

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05 Julio, 2022, 09:57 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

El teorema de la función inversa es el siguiente.
Sea \( A\subseteq \mathbb{R}^n \) un conjunto abierto y \( f:A\rightarrow \mathbb{R}^n \) una función clase \( C^1 \). Si \( x_0\in A \) y \( JF(x_0)\neq 0 \)(el jacobiano de \( f \)), entonces existe una vecindad \( U \) de \( x_0 \) y una vecindad \( V \) de \( f(x_0) \) tales que \( f(U)=V \) y la restricción \( g=f_{\mid U}:U\rightarrow V \) tiene una inversa \( g^{-1}:V\rightarrow U \) clase \( C^1 \). Además, para cada \( y\in W \) y \( x=f^{-1}(y) \) tenemos que \( Df^{-1}(y)=[Df(x)]^{-1} \).

El teorema de la función inversa no te va a servir (normalmente) para decidir si una ecuación tiene solución; te sirve para trabajar con la solución en un entorno de un punto donde sabemos que hay solución, porque de hecho partimos de \( x_0 \) que sería la solución y a partir de ahí tenemos su imagen \( y=f(x_0) \). Determinar que existe la solución sería lo contrario; partir de un valor de \( y \) y poder afirmar que existe el \( x_0 \) tal que \( f(x_0)=y \).

Saludos.