Autor Tema: Integral de linea sobre campo vectorial

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01 Julio, 2022, 11:19 pm
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Sintesis

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Hola, estaba intentando resolver esta integral de linea de forma convencional, por un ejercicio tengo que resolverla por teorema de Geen y después de forma convencional, ya la resolví con teorema de Green, pero no estoy seguro de si la estoy definiendo bien de forma convencional.

\( \displaystyle\int_{C}^{}y^2dx+x^2y dy \)

Donde \( C \) es el rectángulo con vértices \( (0,0), (5,0), (5,4) \) y \( (0,4) \).

Pensé en dividir el rectángulo en 4 líneas y resolverla como con las integrales de linea sobre campos escalares cuando la curva es suave a trozos, pero no me da el mismo resultado que con el teorema de Green (120).

\( \displaystyle\int_{0}^{4} 25t dt + \displaystyle\int_{0}^{5} t^2 dt + \displaystyle\int_{0}^{5} 16 dt = \displaystyle\frac{965}{3}  \)

La integral sobre una de las líneas da 0, por eso no la agregue.

01 Julio, 2022, 11:44 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas Sintesis  :),

No veo de donde has sacado esas integrales para calcular la integral en cuestión.

Consideremos las siguientes curvas para parametrizar el rectangulo:
\( \gamma_1(t)= (1-t)(0,0) + t(5,0)=(5t,0) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_2(t)= (1-t)(5,0) + t(5,4)=(5,4t) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_3(t)= (1-t)(5,4) + t(0,4)=(5(1-t),4) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_4(t)= (1-t)(0,4) + t(0,0)=(0,(1-t)4) \) con \( t\in[0,1] \)

Luego por comodidad llamemos \( F(x,y)=(y^2,x^2y) \), la integral pedida es:
\( \displaystyle\int_C F = \sum_{i=1}^4{\int_{0}^{1}\left<{F\circ \gamma_i (t),\gamma_i ' (t)}\right>dt} \)
\( \displaystyle=\int_{0}^{1}\left<{(0,0),(5,0)}\right>dt + \int_{0}^{1}\left<{ (16t^2,100t),(0,4)}\right>dt +\int_{0}^{1}\left<{ (16,100(1-t)^2),(-5,0)}\right>dt+\int_{0}^{1}\left<{ (16(1-t)^2,0),(0,-4)}\right>dt \)
\( \displaystyle= 0 + \int_{0}^{1} 400tdt + \int_{0}^{1} -80dt + 0 = 200-80 = 120 \)

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

03 Julio, 2022, 01:21 am
Respuesta #2

Sintesis

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Buenas Sintesis  :),

No veo de donde has sacado esas integrales para calcular la integral en cuestión.

Consideremos las siguientes curvas para parametrizar el rectangulo:
\( \gamma_1(t)= (1-t)(0,0) + t(5,0)=(5t,0) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_2(t)= (1-t)(5,0) + t(5,4)=(5,4t) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_3(t)= (1-t)(5,4) + t(0,4)=(5(1-t),4) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_4(t)= (1-t)(0,4) + t(0,0)=(0,(1-t)4) \) con \( t\in[0,1] \)

Luego por comodidad llamemos \( F(x,y)=(y^2,x^2y) \), la integral pedida es:
\( \displaystyle\int_C F = \sum_{i=1}^4{\int_{0}^{1}\left<{F\circ \gamma_i (t),\gamma_i ' (t)}\right>dt} \)
\( \displaystyle=\int_{0}^{1}\left<{(0,0),(5,0)}\right>dt + \int_{0}^{1}\left<{ (16t^2,100t),(0,4)}\right>dt +\int_{0}^{1}\left<{ (16,100(1-t)^2),(-5,0)}\right>dt+\int_{0}^{1}\left<{ (16(1-t)^2,0),(0,-4)}\right>dt \)
\( \displaystyle= 0 + \int_{0}^{1} 400tdt + \int_{0}^{1} -80dt + 0 = 200-80 = 120 \)

Saludos,
Franco.

Gracias franma, entonces si se aplica a integrales sobre campos, estuve viendo mis parametrizaciones y tenia una linea parametrizada en sentido horario y un vector del campo mal evaluado, corrigiendo quedaría como:



\( \displaystyle\int_{0}^{4}25dt+\displaystyle\int_{5}^{0}16dt = 120 \)

Saludos.