Autor Tema: Diferenciabilidad de una función

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01 Julio, 2022, 10:39 am
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JesusSaez

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Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \) definida por
\(
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{si }& (x,y)\neq(0,0)\\
0& \text{si }& (x,y)=(0,0)
\end{cases}
 \)
¿Es \( f \) diferenciable en \( (0,0) \)?

Aquí mi duda es porque la función es continua en \( (0,0) \) , ya que
\(
|f(x,y)-f(0,0)|<||(x,y)||
 \)
Así que dado \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\epsilon \), se satisface la definición de continuidad.
Ahora, ambas parciales en \( (0,0) \) valen \( 0 \). Pero al hacer la diferencia de la definición de diferenciabilidad tengo que
\(
\displaystyle\frac{|f(x,y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)|}{||(x,y)-(0,0)||}\leq 1
 \)
Lo que me hace pensar que no es diferenciable porque no hay una cota en términos de la norma, sin embargo, no se como mostrar que no es diferenciable.

01 Julio, 2022, 11:17 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola



Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \) definida por
\(
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{si }& (x,y)\neq(0,0)\\
0& \text{si }& (x,y)=(0,0)
\end{cases}
 \)
¿Es \( f \) diferenciable en \( (0,0) \)?

Aquí mi duda es porque la función es continua en \( (0,0) \) , ya que
\(
|f(x,y)-f(0,0)|<||(x,y)||
 \)
Así que dado \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\epsilon \), se satisface la definición de continuidad.
Ahora, ambas parciales en \( (0,0) \) valen \( 0 \). Pero al hacer la diferencia de la definición de diferenciabilidad tengo que
\(
\displaystyle\frac{|f(x,y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)|}{||(x,y)-(0,0)||}\leq 1
 \)
Lo que me hace pensar que no es diferenciable porque no hay una cota en términos de la norma, sin embargo, no se como mostrar que no es diferenciable.

Lo que tienes que probar es que el límite:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{}\dfrac{xy}{x^2+y^2} \)

no existe.

¿Qué ocurre si te aproximas al origen por rectas de la forma \( (x,y)=t(a,b) \)?.

Saludos.

02 Julio, 2022, 02:21 am
Respuesta #2

JesusSaez

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Cierto, dependiendo de los valores de \( t \) obtenemos límites diferentes, por consiguiente no es diferenciable ya que el límite no existe.
Muchas gracias.

02 Julio, 2022, 04:29 am
Respuesta #3

delmar

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Hola



Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \) definida por
\(
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{si }& (x,y)\neq(0,0)\\
0& \text{si }& (x,y)=(0,0)
\end{cases}
 \)
¿Es \( f \) diferenciable en \( (0,0) \)?

Aquí mi duda es porque la función es continua en \( (0,0) \) , ya que
\(
|f(x,y)-f(0,0)|<||(x,y)||
 \)
Así que dado \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\epsilon \), se satisface la definición de continuidad.
Ahora, ambas parciales en \( (0,0) \) valen \( 0 \). Pero al hacer la diferencia de la definición de diferenciabilidad tengo que
\(
\displaystyle\frac{|f(x,y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)|}{||(x,y)-(0,0)||}\leq 1
 \)
Lo que me hace pensar que no es diferenciable porque no hay una cota en términos de la norma, sin embargo, no se como mostrar que no es diferenciable.

Solamente para complementar, una función puede ser continua y no ser diferenciable y para demostrar que una función f genérica en (0,0) no es diferenciable hay que demostrar :

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{f(x,y)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}}}{\left\|{(x,y)}\right\|}}\neq 0 \)


Al no existir límite se cumple

Saludos

05 Julio, 2022, 03:05 am
Respuesta #4

JesusSaez

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Muchas gracias, me ha quedado claro.