Hola
Hola Luís: Tú objeción a un paso intermedio de mi demostración de del último teorema de Fermat se puede salvar cambiando las condiciones iniciales de r,p, estableciéndolas de la siguiente forma:
"Si r,p son números reales positivos con las siguientes condiciones:
a) \( r>p \)
b) El producto \( r·p \)=número entero
Si \( b=r·p \), \( b^3=r^3·p^3 \),.........."
De tal forma que se podría continuar la demostración hasta concluir que no existen ternas de números enteros positivos que cumplan la ecuación:
\( y^3-c^3=d^3 \)
El cambio propuesto de las condiciones iniciales sería valido, no solo para n=3 sino para cualquier n.
Pero sigue sin estar bien.
Tu partes de que existen enteros \( x^3-a^3=b^3 \). Tomas \( r,p \) reales tales que:
\( b=rp,\quad r^3=(x^{3/2}+a^{3/2}),\quad p^3=(x^{3/2}-a^{3/2}) \)
o equivalentemente:
\( x^3=(r^3+p^3)^2/4,\quad a^3=(r^3-p^3)/4 \)
y luego tomas (y aquí viene lo que no tiene sentido o no prueba nada):
\( y^3=(r^3+p^3)^2=4x^3 \)
\( c^3=(r^3-p^3)^2=4a^3 \)
\( d^3=4r^4p^3=4b^3 \)
Es cierto que \( y^3-c^3=d^3 \) y que \( y,c,d \) NO pueden ser enteros si \( x,a,b \) lo son, porque por ejemplo si \( x \) es entero entonces \( y=\sqrt[3]{4}x \) NO lo es.
Pero ahí no se prueba nada útil. Lo único que dices es que si \( x,a,b \) son enteros cumpliendo \( x^3-a^3=b^3 \), entonces \( y=\sqrt[3]{4}x \), \( c=\sqrt[3]{4}a \) y \( d=\sqrt[3]{4}b \) son números que cumplen \( y^3-c^3=d^3 \) pero NO son enteros. ¿Y bien? Eso no impide que pudieran existir los enteros originales \( x,a,b \) son cumpliendo \( x^3-a^3=b^3 \).
Por ejemplo si tomo \( x^2-a^2=b^2 \) entonces \( y=\sqrt[2]{2}x \), \( c=\sqrt[2]{2}a \) y \( d=\sqrt[2]{2}b \) son números que cumplen \( y^2-c^2=d^2 \) pero NO son enteros. Pero eso no impide que existan los enteros originales \( x,a,b \) son cumpliendo \( x^2-a^2=b^2 \). ¡De hecho existen! (p.ej \( (x,a,b)=(5,3,4) \)).
Saludos.
