\( \displaystyle\sum_{}{1/n^x} \)
esta serie armónica, es convergente si x>1, pero podrían explicarme porque podemos decir que la serie converge puntualmente en (1,+inf)
La convergencia puntual, significa solo convergencia, es por eso? Sin embargo la convergencia uniforme es mas fuerte, es decir necesita que se conserven propiedades como continuidad, derivabilidad, integralidad.
Usando el criterio del supremo que la distancia sea 0.
Gracias, soy nuevo en este tema
Una puntualización: a esas series no se las conoce como "series armónicas" sino como series de Dirichlet. Serie armónica se conoce como tal a sólo una serie, la serie donde \( x=1 \), es decir, la serie \( \sum_{n=1}^{\infty }\frac1{n} \).
Volviendo al tema, decir que una serie converge para valores de \( x>1 \) es lo mismo que decir que converge para valores \( x\in(1,\infty ) \). Una manera más formal de decir lo mismo sería decir que si definimos las funciones \( f_n:[0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto \sum_{k=1}^n\frac1{k^x} \) entonces la sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) converge puntualmente en \( (1,\infty ) \), que quiere decir que \( \lim_{n\to \infty }f_n(x) \) existe y es finito para todo \( x\in(1,\infty ) \).
Añado: entonces si definimos \( f:(1,\infty )\to \mathbb{R} \) por \( f(x):=\lim_{n\to \infty }f_n(x) \) entonces podemos demostrar que \( f_n \) converge a \( f \) uniformemente en cualquier intervalo cerrado \( [a,\infty ) \) con \( a>1 \), ya que
\( \displaystyle{
\sup_{x\in [a,\infty )}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in [a,\infty )}\left| \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac1{k^x} \right|= \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac1{k^a}
} \)
ya que \( \frac1{k^a}\geqslant \frac1{k^x} \) para todo \( x\geqslant a \). Como \( \sum_{k=1}^{\infty }\frac1{k^a}<\infty \) (porque \( a>1 \)) entonces \( \lim_{n\to \infty } \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac1{k^a}=0 \), de donde se sigue que para cualquier \( \epsilon >0 \) que elijamos existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que
\( \displaystyle{
\sup_{x\in [a,\infty )}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \qquad \text{ para todo }n\geqslant N
} \)
Por tanto \( f_n \) converge uniformemente a \( f \) en \( [a,\infty ) \).
