[AveFenix]

Si \( U_n \) no converge uniformemente a cero entonces \( \sum U_n  \) no converge uniformemente a \( U \).

Quisiera que me otorgaran un ejemplo sencillo bien fácil, en donde \( U_n \) no converge uniformemente a cero.

Es decir la condición necesaria la entiendo, pero me gustaría un ejemplo gracias!

Moderación: \( \LaTeX \) corregido.

[Masacroso]

Si \( U_n \) no converge uniformemente a cero entonces \( \sum U_n  \) no converge uniformemente a \( U \).

Quisiera que me otorgaran un ejemplo sencillo bien fácil, en donde \( U_n \) no converge uniformemente a cero.

Es decir la condición necesaria la entiendo, pero me gustaría un ejemplo gracias!

Moderación: \( \LaTeX \) corregido.

La sucesión de funciones \( U_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) definidas como \( U_n(x):=(-1)^n n \) no converge puntualmente, por tanto no converge uniformemente tampoco, y es claro que \( \sum_{n\geqslant 0}U_n(x) \) tampoco converge puntualmente, por tanto tampoco uniformemente.

[AveFenix]

\( Un(x)=(-1)^nx \)  seria así? porque no veo la x en el ejemplo que mencionaste, gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

\( Un(x)=(-1)^nx \)  seria así? porque no veo la x en el ejemplo que mencionaste, gracias!

No tiene porqué aparecer la \( x \), pueden ser funciones constantes.

Otro ejemplo: toma \( U_n:(0,1)\to \Bbb  R^n \) con \( U_n(x)=x^n \), que convergen puntualmente la función constante cero. Sin embargo no converge uniformemente porque \( U_n(\sqrt[n]{0.5})=0.5 \).

Saludos.

[AveFenix]

Porque tomas \( \sqrt[n ]{0.5} \)?  creí que se tomaba valores como x=0.5

podrías fundamentar un poco mas la idea que me acabas de mencionar muchas gracias!.

[Juan Pablo Sancho]

Toma la sucesión \( x_n = \sqrt[n]{0.5}  \) luego para todo \( n \in \mathbb{N}  \) tenemos: \( U_n(x_n) = 0.5  \), luego para \( \epsilon = 0.1  \) no funcionaría nunca.