[jlopezfdez]

Hola,

Si yo tengo un segmento de recta comprendido entre los puntos A(1,1) y B(5,5), necesito saber cómo determinar si un punto concreto está contenido en ese segmento de recta.

Por ejemplo el punto C(6,6) pertenecería a esa recta, pero no estaría comprendido en ese segmento.
El punto D(2,2) sí estaría en ese segmento.

Espero haberme explicado bien. Muchas gracias a todos.

[jlopezfdez]

Igual me respondo a mi mismo  , pero podría ser calculando la longitud del segmento AB, digamos D,
y para el punto X calculamos la distancia de X a A, y la distancia de X a B, y si la suma de ambas es igual a la longitud del segmento es que el punto X está comprendido en el.
No sé si existe otra forma diferente.

[Samir M.]

Podrías ver que el producto escalar de los vectores \( CA \) y \( BA \) es positivo, y que su producto vectorial es cero. esto es que los vectores están alineados y están en la misma dirección. Entonces podrías hacer lo de los módulos que comentas o simplemente mirar si la raíz del producto escalar de los vectores mencionados es menor que la distancia entre los puntos \( a \) y \( b \).

[geómetracat]

Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].
Una alternativa a lo que propones y a lo que propone Samir, muy sencilla a nivel de cálculo, es la siguiente. Supón que tienes dos puntos, \[ A(a,b) \] y \[ B=(c,d) \] con \[ A \neq B \]. Entonces, dado un punto \[ X(x,y) \] cualquiera se tiene:
1) \[ X \] pertence a la recta \[ AB \] (pero quizás no al segmento), si y solo si \[ (x-a)(d-b)=(y-b)(c-a) \].
2) Supón que \[ X \] pertence a la recta \[ AB \]. Como \[ A \neq B \], al menos uno de los números \[ c-a \] y \[ d-b \] es distinto de \[ 0 \]. Entonces puedes calcular \[ \lambda := \frac{x-a}{c-a} \] o \[ \lambda := \frac{y-b}{d-b} \] (si ambos \[ c-a, d-b \] son no nulos las dos definiciones de \[ \lambda \] coinciden por el criterio de 1). Entonces, \[ X \] pertence al segmento \[ AB \] si y solo si \[ 0\leq \lambda \leq 1 \].

La lógica detrás de esto es muy sencilla: \[ X \] pertence a la recta \[ AB \] si y solo si \[ \vec{AX} = \lambda \vec{AB} \] para algún \[ \lambda \], y pertence al segmento si y solo si ese \[ \lambda \] está entre \[ 0 \] y \[ 1 \].

Corregido. Gracias Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].

Funciona siempre, ¿no?:

\( d(A,X)+d(B,X)=d(A,B) \) si y sólo si \( x\in AB \)

Saludos.

[geómetracat]

Hola

Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].

Funciona siempre, ¿no?:

\( d(A,X)+d(B,X)=d(A,B) \) si y sólo si \( x\in AB \)

Saludos.

Sí, claro, menudo lapsus. Gracias.

[jlopezfdez]

Muchas gracias a todos, ¡¡me queda muy claro!!