Hola
Entonces, ¿ahí se puede decir que ya esta demostrada por la definición de sucesión?.
Te detallo un poco más la cuestión. La definición de sucesión de Cauchy, es que \( \{x_n\} \) es de Cauchy si cumple que:
(1) para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0\in \Bbb N \) tal que si \( n,m\geq n_0 \) entonces \( |x_n-x_m|<\epsilon \)
Que NO se cumpla la definición significa que:
(2) existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( n_0\in Bbb N \) existen \( n,m\geq n_0 \) con \( |x_n-x_m|\geq \epsilon \)
Entonces Juan Pablo Sancho, aquí:
Para \( \epsilon = 1 \) tienes que \( |(-1)^{n+1} - (-1)^n| = 2 > \epsilon \) para todo \( n \in \mathbb{N} \)
muestra que existe \( \epsilon=1 \) tal que para todo \( n_0\in \Bbb N \) tomando \( n=n_0+1 \) y \( m=n_0 \) (que cumplen \( n,m\neq n_0 \)) se tiene que \( |x_n-x_m|=|x_{n_0+1}-x_{n_0}|=|(-1)^{n+1} - (-1)^n| = 2 >1)= \epsilon \).
Es decir muestra que se tiene (2) (la negación de ser sucesión de Cauchy).
Saludos.
