En realidad, al inicio estaba pensando en bases \( x_i \) cualquiera (las \( m- \)tuplas que tienen elementos igual a \( 0 \), salvo en la posición \( i \))
Pero eso no son bases cualesquiera. Son bases muy particulares, en las que cada vector es un múltiplo de uno de los vectores de la base canónica.
pero creo que las interpretó como si estuviera trabajando con bases canónicas \( e_i \) y por eso realizó este comentario:
Pero así estás definiendo justamente la aplicación lineal que tiene esa matriz en la base canónica
No, es que así estás definiendo la matriz respecto de la base canónica. Si pides esa condición para una base de ese tipo, es lo mismo que pedirla para la base canónica o para vectores cualesquiera.
Por eso entré en confusión, por que no me refería precisamente a las bases canónicas \( e_i \), por que en realidad no estaba pensando en bases canónicas. Pero al trabajar con matrices asociadas a aplicaciones lineales \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \) llegué a la conclusión que :
\( x_i^{-1}f(x_i)=f(x_i^{-1}x_i)=f(e_i)=x_i^{-1}x_iM_{m\times n}=e_iM_{m\times n} \)
Pero a eso no le veo sentido. Si pones \( f(x_i) \) es que \( x_i \) es un vector, y entonces, ¿qué sentido tiene escribir \( x_i^{-1} \)? ¿Cómo calculas el inverso de un vector y cómo lo multiplicas por otro vector?
eso implica que la matriz \( M_{m\times n} \) es la misma que se asocia a una aplicación lineal en la base canónica, y viceversa. Lo que me parece que es lo que comenta aquí:
Lo que dices se cumple para esas m-tuplas si y sólo si se cumple para todas si y sólo si se cumple para la base canónica. Y estás definiendo la aplicación lineal que en la base canónica tiene la matriz dada.
Eso que te digo no depende para nada de esa cuenta que ya te digo que no entiendo. La aplicación lineal dada por \( f(x)=xM \) es la que tiene matriz \( M \) en la base canónica, y cumple eso para todo \( x\in K^m \), incluidos los vectores del tipo \( x_i \) (que no son únicos) y que no sé por qué quieres darles un trato especial.
