Autor Tema: Teorema 5.38 Álgebra | Carlos Ivorra

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26 Enero, 2022, 10:12 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Pero en la definición de base canónica, los elementos \( e_i \) de la base canónica serian las \( m- \)tuplas tal que los elementos de la posición \( i \) son \( 1 \) y los de más \( 0 \). En este caso, no propuse que los elementos de la posición \( i \) de cada \( x_i \) fueran \( 1 \) si no cualquier elemento diferente de \( 0 \) (podrían ser \( 1 \)).

Vale, se me había pasado el detalle, aunque confunde un poco que hables de "la m-tupla que tiene...", cuando no es única, sino que hay muchas.

Pero así todavía entiendo menos en qué estás pensando. ¿Por qué destacas esas m-tuplas? Lo que dices se cumple para esas m-tuplas si y sólo si se cumple para todas si y sólo si se cumple para la base canónica. Y estás definiendo la aplicación lineal que en la base canónica tiene la matriz dada.

26 Enero, 2022, 10:38 pm
Respuesta #11

Fernando Padilla

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Pero así todavía entiendo menos en qué estás pensando. ¿Por qué destacas esas m-tuplas?

En realidad, al inicio estaba pensando en bases \( x_i \) cualquiera (las \( m- \)tuplas que tienen elementos igual a \( 0 \), salvo en la posición \( i \)) pero creo que las interpretó como si estuviera trabajando con bases canónicas \( e_i \) y por eso realizó este comentario:

Pero así estás definiendo justamente la aplicación lineal que tiene esa matriz en la base canónica

Por eso entré en confusión, por que no me refería precisamente a las bases canónicas \( e_i \), por que en realidad no estaba pensando en bases canónicas. Pero al trabajar con matrices asociadas a aplicaciones lineales \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \) llegué a la conclusión que :
\( x_i^{-1}f(x_i)=f(x_i^{-1}x_i)=f(e_i)=x_i^{-1}x_iM_{m\times n}=e_iM_{m\times n} \)

eso implica que la matriz \( M_{m\times n} \) es la misma que se asocia a una aplicación lineal en la base canónica, y viceversa. Lo que me parece que es lo que comenta aquí:

Lo que dices se cumple para esas m-tuplas si y sólo si se cumple para todas si y sólo si se cumple para la base canónica. Y estás definiendo la aplicación lineal que en la base canónica tiene la matriz dada.

26 Enero, 2022, 11:07 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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En realidad, al inicio estaba pensando en bases \( x_i \) cualquiera (las \( m- \)tuplas que tienen elementos igual a \( 0 \), salvo en la posición \( i \))

Pero eso no son bases cualesquiera. Son bases muy particulares, en las que cada vector es un múltiplo de uno de los vectores de la base canónica.

pero creo que las interpretó como si estuviera trabajando con bases canónicas \( e_i \) y por eso realizó este comentario:

Pero así estás definiendo justamente la aplicación lineal que tiene esa matriz en la base canónica

No, es que así estás definiendo la matriz respecto de la base canónica. Si pides esa condición para una base de ese tipo, es lo mismo que pedirla para la base canónica o para vectores cualesquiera.

Por eso entré en confusión, por que no me refería precisamente a las bases canónicas \( e_i \), por que en realidad no estaba pensando en bases canónicas. Pero al trabajar con matrices asociadas a aplicaciones lineales \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \) llegué a la conclusión que :
\( x_i^{-1}f(x_i)=f(x_i^{-1}x_i)=f(e_i)=x_i^{-1}x_iM_{m\times n}=e_iM_{m\times n} \)

Pero a eso no le veo sentido. Si pones \( f(x_i) \) es que \( x_i \) es un vector, y entonces, ¿qué sentido tiene escribir \( x_i^{-1} \)? ¿Cómo calculas el inverso de un vector y cómo lo multiplicas por otro vector?

eso implica que la matriz \( M_{m\times n} \) es la misma que se asocia a una aplicación lineal en la base canónica, y viceversa. Lo que me parece que es lo que comenta aquí:

Lo que dices se cumple para esas m-tuplas si y sólo si se cumple para todas si y sólo si se cumple para la base canónica. Y estás definiendo la aplicación lineal que en la base canónica tiene la matriz dada.

Eso que te digo no depende para nada de esa cuenta que ya te digo que no entiendo. La aplicación lineal dada por \( f(x)=xM \) es la que tiene matriz \( M \) en la base canónica, y cumple eso para todo \( x\in K^m \), incluidos los vectores del tipo \( x_i \) (que no son únicos) y que no sé por qué quieres darles un trato especial.

26 Enero, 2022, 11:21 pm
Respuesta #13

Fernando Padilla

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Pero a eso no le veo sentido. Si pones \( f(x_i) \) es que \( x_i \) es un vector, y entonces, ¿qué sentido tiene escribir \( x_i^{-1} \)? ¿Cómo calculas el inverso de un vector y cómo lo multiplicas por otro vector?

El elemento \( x_i \) de \( K^m \) es el vector que tiene en la posición \( i \) un elemento \( a \) diferente diferente de \( 0 \) y en los restantes \( 0 \), \( x_i^{-1} \) es el elemento de \( K \) que es \( a^{-1} \). El producto \( x_i^{-1}x_i \) es el vector que tiene en la posición \( i \) al elemento \( 1 \), es decir \( e_i \). Eso estaba pensando.

La aplicación lineal dada por \( f(x)=xM \) es la que tiene matriz \( M \) en la base canónica.

¿Por qué? Comencé con una consulta diferente, pero al parecer he descubierto que tengo algunos conceptos más básicos pendientes que reforzar.

26 Enero, 2022, 11:47 pm
Respuesta #14

Carlos Ivorra

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El elemento \( x_i \) de \( K^m \) es el vector que tiene en la posición \( i \) un elemento \( a \) diferente diferente de \( 0 \) y en los restantes \( 0 \), \( x_i^{-1} \) es el elemento de \( K \) que es \( a^{-1} \). El producto \( x_i^{-1}x_i \) es el vector que tiene en la posición \( i \) al elemento \( 1 \), es decir \( e_i \). Eso estaba pensando.

Pues es una notación bastante heterodoxa. Y sigo sin ver por qué te interesan tanto los vectores de esa forma. Parece que pienses que representan una base cualquiera, cuando son casi lo mismo que la base canónica.


La aplicación lineal dada por \( f(x)=xM \) es la que tiene matriz \( M \) en la base canónica.

¿Por qué? Comencé con una consulta diferente, pero al parecer he descubierto que tengo algunos conceptos más básicos pendientes que reforzar.

Si \( f: K^m\longrightarrow K^n \) es una aplicación lineal y \( B \) y \( B' \) son bases de \( K^m \) y \( K^n \), la matriz de \( f \) en dichas bases es la matriz \( M \) que cumple que si \( v\in K^m \)  tiene coordenadas \( x \) en la base \( B \), entonces las coordenadas de \( f(v) \) en la base \( B' \) son \( xM \). Si las bases son las canónicas, las coordenadas de \( v \) son \( x=v \), por lo que tenemos que \( f(v)=vM \) o \( f(x)=xM \), que es lo mismo.

27 Enero, 2022, 12:07 am
Respuesta #15

Fernando Padilla

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Si \( f: K^m\longrightarrow K^n \) es una aplicación lineal y \( B \) y \( B' \) son bases de \( K^m \) y \( K^n \), la matriz de \( f \) en dichas bases es la matriz \( M \) que cumple que si \( v\in K^m \)  tiene coordenadas \( x \) en la base \( B \), entonces las coordenadas de \( f(v) \) en la base \( B' \) son \( xM \). Si las bases son las canónicas, las coordenadas de \( v \) son \( x=v \), por lo que tenemos que \( f(v)=vM \) o \( f(x)=xM \), que es lo mismo.

Muchas gracias por todas sus respuestas, ha quedado claro.