Autor Tema: Teorema 5.38 Álgebra | Carlos Ivorra

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26 Enero, 2022, 02:18 am
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Fernando Padilla

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En el la demostración del teorema \( 5.38 \) empieza con lo siguiente: "Sea \( K \) el cuerpo de cocientes de \( A \). Entonces Mat\( _n(A) \) puede considerarse como un subanillo de Mat\( _n(K) \)".

¿Por qué \( A \) tiene que ser un dominio íntegro? Lo que he entendido respecto a lo anterior citado es que \( A \) tiene que ser un dominio integro para trabajar con Mat\( _n(A) \) visto como subanillo de Mat\( _n(K) \). Se puede considerar como subanillo pues todo elemento de Mat\( _n(A) \) está en Mat\( _n(K) \) ( y ambos tienen estructura de anillos), ya que todo elemento de \( A \) está en \( K \). Además, luego se utilizará \( K- \)módulos que en este caso al ser \( K \) un cuerpo de cocientes, entonces realmente se trabajará con \( K- \) espacios vectoriales (los cuales tienen definida la cardinalidad de su base).

Luego menciona :" Fijemos una base del espacio vectorial \( K^n \) y consideremos las aplicaciones lineales \( f, g : K^n \rightarrow K^n \) cuyas matrices en la base considerada sean \( B \) y \( C \) respectivamente"

Lo que he entendido respecto a lo anterior citado es que si fijamos una base \( D \) en el \( K- \)módulo \( K^n \), entonces del isomorfismo \( M_B^B:End_K(K^n)\rightarrow Mat_n(K^n) \) encontramos que \( (M_B^B)^{-1}[ \)Mat\( _n(A)] \) es un subanillo de \( End_K(K^n) \) y la imagen de cada elemento de este subanillo pertenece al subanillo Mat\( _n(A) \) (visto como subanillo de Mat\( _n(K) \)) . Entonces, las aplicaciones lineales \( f,g \) a las que hace referencia son elementos de \( (M_B^B)^{-1}[ \)Mat\( _n(A)] \).

Para demostrar el enciso \( 2 \), ¿se puede considerar a Mat\( _{m\times n}(A) \)Mat\( _{n\times m}(A) \) como subanillo de Mat\( _n(A) \)?

26 Enero, 2022, 09:42 am
Respuesta #1

geómetracat

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En el la demostración del teorema \( 5.38 \) empieza con lo siguiente: "Sea \( K \) el cuerpo de cocientes de \( A \). Entonces Mat\( _n(A) \) puede considerarse como un subanillo de Mat\( _n(K) \)".

¿Por qué \( A \) tiene que ser un dominio íntegro? Lo que he entendido respecto a lo anterior citado es que \( A \) tiene que ser un dominio integro para trabajar con Mat\( _n(A) \) visto como subanillo de Mat\( _n(K) \). Se puede considerar como subanillo pues todo elemento de Mat\( _n(A) \) está en Mat\( _n(K) \) ( y ambos tienen estructura de anillos), ya que todo elemento de \( A \) está en \( K \). Además, luego se utilizará \( K- \)módulos que en este caso al ser \( K \) un cuerpo de cocientes, entonces realmente se trabajará con \( K- \) espacios vectoriales (los cuales tienen definida la cardinalidad de su base).
Si \[ A \] no es un dominio íntegro no hay cuerpo de fracciones. El cuerpo de fracciones de un anillo conmutativo es el menor cuerpo \[ K \] que contiene a \[ A \] como subanillo. Pero si \[ A \] tiene divisores de cero, \[ K \] también los tiene y por tanto no puede ser cuerpo. Por eso la demostración que se da ahí no funciona si el anillo no es dominio íntegro.

Dicho esto, el enunciado del teorema (si \[ B, C \in Mat_n(A) \] cumplen \[ BC=I \] entonces son invertibles y \[ B=C^{-1} \]) diría que es cierto para cualquier anillo conmutativo \[ A \], si no se me escapa nada. La idea es que de \[ BC=I \] tienes que \[ \det(B)\det(C)=1 \], luego \[ \det(B) \] es invertible en \[ A \], y puedes usar la fórmula típica para la inversa con la matriz de adjuntos.
Si \[ A \] no es conmutativo entonces ya no: puede pasar que una matriz tenga inversa por la izquierda pero no por la derecha, o tenga inversa por la derecha pero no por la izquierda.

Citar
Luego menciona :" Fijemos una base del espacio vectorial \( K^n \) y consideremos las aplicaciones lineales \( f, g : K^n \rightarrow K^n \) cuyas matrices en la base considerada sean \( B \) y \( C \) respectivamente"

Lo que he entendido respecto a lo anterior citado es que si fijamos una base \( D \) en el \( K- \)módulo \( K^n \), entonces del isomorfismo \( M_B^B:End_K(K^n)\rightarrow Mat_n(K^n) \) encontramos que \( (M_B^B)^{-1}[ \)Mat\( _n(A)] \) es un subanillo de \( End_K(K^n) \) y la imagen de cada elemento de este subanillo pertenece al subanillo Mat\( _n(A) \) (visto como subanillo de Mat\( _n(K) \)) . Entonces, las aplicaciones lineales \( f,g \) a las que hace referencia son elementos de \( (M_B^B)^{-1}[ \)Mat\( _n(A)] \).
Sí, en efecto (aunque \[ M_B^B \] debería ser \[ M_D^D \] con tu notación).

Citar
Para demostrar el enciso \( 2 \), ¿se puede considerar a Mat\( _{m\times n}(A) \)Mat\( _{n\times m}(A) \) como subanillo de Mat\( _n(A) \)?
Para 2, tienes que usar que \[ Mat_{m \times n}(A) \] es un subgrupo de \[ Mat_{m \times n}(K) \] y que la multiplicación de matrices \[ Mat_{m \times n}(A) \times Mat_{n \times m}(A) \to Mat_m(A) \] coincide con la restricción de la multiplicación con coeficientes en \[ K \], \[ Mat_{m \times n}(K) \times Mat_{n \times m}(K) \to Mat_m(K) \]. Esto es todo bastante obvio, pues las fórmula para multiplicar matrices siempre es la misma, independientemente del anillo de coeficientes, y como \[ A \] es un subanillo de \[ K \], la multiplicación de dos matrices con coeficientes en \[ A \] siempre va a dar otra matriz con coeficientes en \[ A \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Enero, 2022, 09:46 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Dicho esto, el enunciado del teorema (si \[ B, C \in Mat_n(A) \] cumplen \[ BC=I \] entonces son invertibles y \[ B=C^{-1} \]) diría que es cierto para cualquier anillo conmutativo \[ A \], si no se me escapa nada. La idea es que de \[ BC=I \] tienes que \[ \det(B)\det(C)=1 \], luego \[ \det(B) \] es invertible en \[ A \], y puedes usar la fórmula típica para la inversa con la matriz de adjuntos.

Sí, lo que pasa es que en mi libro los determinantes todavía no están definidos en ese capítulo.

26 Enero, 2022, 02:19 pm
Respuesta #3

Fernando Padilla

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Hola geómetracat,

Gracias por atender a mis dos consultas iniciales. Respecto a la tercera, aún encuentro ciertas dificultades para comprenderlo.

Para 2, tienes que usar que \[ Mat_{m \times n}(A) \] es un subgrupo de \[ Mat_{m \times n}(K) \] y que la multiplicación de matrices \[ Mat_{m \times n}(A) \times Mat_{n \times m}(A) \to Mat_m(A) \] coincide con la restricción de la multiplicación con coeficientes en \[ K \], \[ Mat_{m \times n}(K) \times Mat_{n \times m}(K) \to Mat_m(K) \]. Esto es todo bastante obvio, pues las fórmula para multiplicar matrices siempre es la misma, independientemente del anillo de coeficientes, y como \[ A \] es un subanillo de \[ K \], la multiplicación de dos matrices con coeficientes en \[ A \] siempre va a dar otra matriz con coeficientes en \[ A \].

No estoy seguro si he comprendido bien la idea, pero pensaba ver a \( Mat_{m \times n}(A) \times Mat_{n \times m}(A) \) como subanillo de \[ Mat_{m}(K) \]  (aunque en mi publicación puse como subanillo de \[ Mat_{n}(A) \]), ¿es posible? Esto con el objetivo de adaptarlo a la forma en que se ha demostrado el enciso \( 1 \) de este teorema, por ejemplo utiliza el isomorfismos de anillos \( M_D^D \) que comentaba (aunque cometí la errata, y lo expresé en mi publicación como \( M_B^B \)) , no de grupos .

26 Enero, 2022, 02:27 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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No estoy seguro si he comprendido bien la idea, pero pensaba ver a \( Mat_{m \times n}(A) \times Mat_{n \times m}(A) \) como subanillo de \[ Mat_{m}(K) \]  (aunque en mi publicación puse como subanillo de \[ Mat_{n}(A) \]), ¿es posible? Esto con el objetivo de adaptarlo a la forma en que se ha demostrado el enciso \( 1 \) de este teorema, por ejemplo utiliza el isomorfismos de anillos \( M_D^D \) que comentaba (aunque cometí la errata, y lo expresé en mi publicación como \( M_B^B \)) , no de grupos .

Pero en realidad, lo que sucede es que nada de lo que planteas es necesario. Lo único que consigues es oscurecer una idea muy simple. Si tienes una matriz \( A \), sea \( n\times n \) o \( m\times n \), a partir de ella puedes definir una aplicación lineal \( f:K^n\longrightarrow K^n \) (o en \( K^m \)), que no es más que la matriz que a cada n-tupla la multiplica por la matriz, si tomas las bases canónicas, y para eso no necesitas considerar inmersiones entre anillos de matrices ni nada, más allá del hecho de que una matriz con coeficientes en \( A \) puedes verla también como matriz con coeficientes en \( K \). Luego usas que la matriz de una composición es el producto de las matrices, lo cual, ciertamente, puede interpretarse en términos de isomorfismos entre espacios de matrices y de aplicaciones lineales, pero no es necesario para nada.

26 Enero, 2022, 03:15 pm
Respuesta #5

Fernando Padilla

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Hola Carlos,

Pero en realidad, lo que sucede es que nada de lo que planteas es necesario. Lo único que consigues es oscurecer una idea muy simple. Si tienes una matriz \( A \), sea \( n\times n \) o \( m\times n \), a partir de ella puedes definir una aplicación lineal \( f:K^n\longrightarrow K^n \) (o en \( K^m \)), que no es más que la matriz que a cada n-tupla la multiplica por la matriz, si tomas las bases canónicas.

El hecho de utilizar bases canónicas, es solo una forma practica de verlo ¿verdad?. En realidad se podría tomar cualquier base \( \{x_1,...,x_m\} \) y cualquier elemento \( M_{m\times n} \) de \( Mat_{m\times n}(A) \) y definir la aplicación lineal \( f:K^m\to K^n \) dada por \( f(x_i)=(x_i)_{i\in m}M_{m\times n} \), donde \( (x_i)_{i\in m} \) es la matriz \( 1\times m \) que tiene todos sus elementos \( 0 \) salvo el de la posición \( i \) donde vale \( x_i \), y esto es posible por esto:

una matriz con coeficientes en \( A \) puedes verla también como matriz con coeficientes en \( K \)

¿Es correcto?

26 Enero, 2022, 07:24 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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El hecho de utilizar bases canónicas, es solo una forma practica de verlo ¿verdad?. En realidad se podría tomar cualquier base \( \{x_1,...,x_m\} \)

Sí, se podría tomar cualquier base, pero ¿qué ganas con ello? Es verdad que hay muchos contextos en los que hacer algo con la base canónica en lugar de constatar que lo que haces no depende de la elección de la base es mala idea, pero justo aquí...

y cualquier elemento \( M_{m\times n} \) de \( Mat_{m\times n}(A) \) y definir la aplicación lineal \( f:K^m\to K^n \) dada por \( f(x_i)=(x_i)_{i\in m}M_{m\times n} \), donde \( (x_i)_{i\in m} \) es la matriz \( 1\times m \) que tiene todos sus elementos \( 0 \) salvo el de la posición \( i \) donde vale \( x_i \),

Pero así estás definiendo justamente la aplicación lineal que tiene esa matriz en la base canónica, salvo que lo que estás llamando \( (x_i)_{i\in m} \) no sean componentes de un elemento de \( K^m \), sino sus coordenadas en la base prefijada. En cualquier caso, no necesitas restringir la definición. Eso se cumplirá para todos elementos de \( K^m \) o todas las \( m \)-tuplas de coordenadas.

y esto es posible por esto:

una matriz con coeficientes en \( A \) puedes verla también como matriz con coeficientes en \( K \)

¿Es correcto?

Pues sí, pero me da la impresión de que le atribuyes una gran importancia a una obviedad. Es como si dijeras que es posible sumar \( 3+\sqrt 2 \) porque podemos ver a los números naturales como números reales. Es cierto, pero no es algo que se suela destacar como punto clave de un argumento.

26 Enero, 2022, 08:19 pm
Respuesta #7

Fernando Padilla

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y cualquier elemento \( M_{m\times n} \) de \( Mat_{m\times n}(A) \) y definir la aplicación lineal \( f:K^m\to K^n \) dada por \( f(x_i)=(x_i)_{i\in m}M_{m\times n} \), donde \( (x_i)_{i\in m} \) es la matriz \( 1\times m \) que tiene todos sus elementos \( 0 \) salvo el de la posición \( i \) donde vale \( x_i \),

Pero así estás definiendo justamente la aplicación lineal que tiene esa matriz en la base canónica, salvo que lo que estás llamando \( (x_i)_{i\in m} \) no sean componentes de un elemento de \( K^m \), sino sus coordenadas en la base prefijada. En cualquier caso, no necesitas restringir la definición. Eso se cumplirá para todos elementos de \( K^m \) o todas las \( m \)-tuplas de coordenadas.

Debí definir \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \), donde \( x_i \) (elemento de la base de \( K^m) \) es la \( m- \) tupla que tiene todos sus elementos iguales a \( 0 \) salvo el de la posición \( i \). Luego, \( x_i^{-1}f(x_i)=f(x_i^{-1}x_i)=f(e_i)=x_i^{-1}x_iM_{m\times n}=e_iM_{m\times n} \), donde los \( e_i \) son elementos de la base canónica. Multiplicar por \( x_i^{-1} \) es posible ya que \( K^m \) ( y tambien \( K^n \)) los estamos viendo como \( K- \)espacios vectoriales. Así, indirectamente estoy definiendo la matriz asociada a la base canónica con la forma en que propuse definir la aplicación lineal definida como \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \) ¿es correcto?


Pues sí, pero me da la impresión de que le atribuyes una gran importancia a una obviedad. Es como si dijeras que es posible sumar \( 3+\sqrt 2 \) porque podemos ver a los números naturales como números reales. Es cierto, pero no es algo que se suela destacar como punto clave de un argumento.

Solo queria comprobar que había comprendido la idea.

26 Enero, 2022, 09:03 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Debí definir \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \), donde \( x_i \) (elemento de la base de \( K^m) \) es la \( m- \) tupla que tiene todos sus elementos iguales a \( 0 \) salvo el de la posición \( i \).

Pero eso es la definición de la base canónica de \( K^n \), ¿no?

26 Enero, 2022, 09:23 pm
Respuesta #9

Fernando Padilla

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Debí definir \( f(x_i)=x_iM_{m\times n} \), donde \( x_i \) (elemento de la base de \( K^m) \) es la \( m- \) tupla que tiene todos sus elementos iguales a \( 0 \) salvo el de la posición \( i \).

Pero eso es la definición de la base canónica de \( K^n \), ¿no?

Pero en la definición de base canónica, los elementos \( e_i \) de la base canónica serian las \( m- \)tuplas tal que los elementos de la posición \( i \) son \( 1 \) y los de más \( 0 \). En este caso, no propuse que los elementos de la posición \( i \) de cada \( x_i \) fueran \( 1 \) si no cualquier elemento diferente de \( 0 \) (podrían ser \( 1 \)).