Autor Tema: Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares

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25 Enero, 2022, 10:28 pm
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nathan

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Saludos amigos, quisiera su apoyo en este ejercicio. Debo Exprese la región  sombreada algebraicamente en coordenadas polares. La verdad no se como hacerlo, por favor quisiera que me expliquen como se hace.



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Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

25 Enero, 2022, 11:25 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Lo primero que has de hacer es definir el dominio de la función, evidentemente solamente esta definida para \( \displaystyle\frac{\pi}{2}\leq{\theta}\leq{\displaystyle\frac{3\pi}{2}} \) respecto a la otra coordenada r de los puntos de la región siempre es menor o igual al r de los puntos azules y es mayor o igual a los r de los puntos rojos, obviamente en su dominio común, cuando \( \pi\leq{\theta}\leq{\displaystyle\frac{3\pi}{2}} \) los puntos rojos no lo limitan, haz avances

Una ayuda adicional, los puntos rojos (circunferencia) en coordenadas polares cumplen :

\( x^2+(y-4)^2=16\Rightarrow{x^2+y^2-8y+16=16}\Rightarrow{r^2-8rsen \theta=0}\Rightarrow{r=8sen \theta} \) considerando la relación entre coordenadas cartesianas y polares \( x=r cos \theta, \ \ y=r sen \theta \)




Saludos

26 Enero, 2022, 01:20 am
Respuesta #2

nathan

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Hola, gracias por ayudarme, la verdad todavía no entiendo bien. Esto es lo que hice, guiándome de lo que me escribiste.

\( R=\left\{ (r,\theta),  \ | \  \displaystyle\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq\displaystyle\frac{3\theta}{2} , \ 4\leq r\leq 8    \right\} \)

En verdad no estoy tan seguro. Yo consideré que

\(  4+4\sin \theta \leq r\leq 8\sin \theta  \)
Pero:
\(   4\leq 4+4\sin\theta\  \wedge 8\sin \theta\leq 8  \), para \( \theta \in [\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{3\pi}{2}] \)
Por ello puse esa variación para \( r \). Pero la verdad no estoy seguro. Les agradecería cualquier observación
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

26 Enero, 2022, 02:04 am
Respuesta #3

delmar

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Parte de lo que has considerado es correcto cuando \( \displaystyle\frac{\pi}{2}\leq{\theta}\leq{\pi} \) se tiene \( 8 sen \theta \leq{r}\leq{4+4 sen \theta} \) y cuando \( \pi<\theta\leq{\displaystyle\frac{3 \pi}{2}} \) ¿r entre que límites varía? respondiendo esta pregunta, esta contestado el problema, intenta


Saludos

26 Enero, 2022, 02:08 am
Respuesta #4

nathan

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\( r \) varía entre \( 4 \) y \( 8 \)?
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

26 Enero, 2022, 02:38 am
Respuesta #5

delmar

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Cuando \( \pi<\theta\leq{\displaystyle\frac{3\pi}{2}} \) se esta hablando de la parte verde que se encuentra en el tercer cuadrante, para hallar los límites de r para un \( \theta \) constante, se ha de considerar semirrectas con un \( \pi<\theta\leq{\displaystyle\frac{3\pi}{2}} \) que empiezan desde el origen, te darás cuenta que todas empiezan desde el origen y son limitadas por la línea azul, \( r=8sen \theta \) saca tus conclusiones

si \( \displaystyle\frac{\pi}{2}\leq{\theta}\leq{\pi}, \ \ 8sen \theta \leq{r}\leq{4+4sen \theta} \)

\( \pi<\theta\leq{\displaystyle\frac{3\pi}{2}}, \ \ 0\leq{r}\leq{.....} \)


Saludos

26 Enero, 2022, 02:08 pm
Respuesta #6

nathan

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Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

26 Enero, 2022, 07:57 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

8?

Sólo tienes que fijarte en el dibujo. En el rango de ángulo \( [\pi,3\pi/2] \) el radio está sólo limitado superiormente por la curva azul:



\( 0\leq r\leq 4+4sin(\theta) \)

Saludos.

26 Enero, 2022, 10:52 pm
Respuesta #8

nathan

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Muchas gracias delmar y Luis Fuentes, por su tiempo y su paciencia, en verdad se que he sido muy pesado, les puedo decir donde puedo estudiar este tema, y ver ejemplos. Francamente ando mal en esto.
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

27 Enero, 2022, 09:41 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias delmar y Luis Fuentes, por su tiempo y su paciencia, en verdad se que he sido muy pesado, les puedo decir donde puedo estudiar este tema, y ver ejemplos. Francamente ando mal en esto.

Estos ejercicios son de integración pero de paso tienes varios ejemplos de expresión de regiones en polares:

http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_3.pdf

Saludos.