Hola, estimado Rincón
Como no me aclaraba con este método en la introducción que hace el libro de texto, me metí en internet y encontré el tutorial "Análisis Numérico -Método iterativo de punto fijo - Jesús Soto..." en YouTube. Jesús Soto es profesor de la UCAM (Universidad Católica de Murcia). Transcribo lo que he apuntado tras visualizarlo:
Análisis numéricoMétodo iterativo de punto fijo
Sea \( f\in{C([a,b])} \). Si se reemplaza la ecuación \( f(x)=0 \) por otra equivalente, de la forma \( x=g(x) \), entonces \( \alpha \) es una raíz de ambas si y sólo si \( \alpha \) es un punto fijo de \( g \); es decir, que satisface \( \alpha=g(\alpha) \)
Teorema de punto fijoSi \( g:[a,b]\rightarrow{[a,b]} \) es continua y derivable en \( [a,b] \) con \( |g'(x)|\leq K<1\quad\forall{x\in[a,b]} \) y dado un \( x_0\in{[a,b]} \), siendo \( x_0 \) el punto inicial, si establecemos la sucesión \( x_n=g(x_{n-1}) \), ésta es convergente:
\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{x_n}=\alpha \)
entonces \( \alpha \) es raíz de la ecuación \( x=g(x) \).
ProcedimientoDada \( f(x)=0 \) (una función que se plantea como una ecuación), debemos buscar que se transforme en \( x=g(x) \)
\( f(x)=0\Leftrightarrow{x=g(x)} \)
Tal que \( g \) verifique el Teorema del punto fijo, entonces la iteración nos llevará a la solución
1- \( g\in{C([a,b])} \), es decir, es continua en el intervalo donde se encuentra el \( 0 \) que
2- \( g \) está incluido dentro del intervalo
\( g([a,b])\subseteq{[a,b]} \)
3- Condición lepsiciana (que la derivada esté acotada en el intervalo siguiente)
\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(a,b)}}} \)
Se mira la gráfica, establecer \( [a,b] \) (donde está el \( 0 \))
Ejemplo Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0 \)
Consideramos la función
\( f(x)=x-e^{-x} \)
Graficamos la función, por ejemplo con Wolfram Alpha. Vemos que (i) es continua y derivable, y (ii) \( 0\in{[0,1]} \)
\( f(x)=x-e^{-x}=0\Leftrightarrow{x=e^{-x}=g(x)} \)
Veamos las condiciones del punto fijo
(a) \( g\in{C([0,1])} \);
(b) Que el dominio de la función esté incluido en su imagen, \( g([0,1]) \):
\( -g'(x)=-e^{-x}\in{C([0,1])} \) mantiene el signo; por lo tanto es estrictamente decreciente.
Según el Teorema de Bolzano-Weierstrass, \( g(x) \) tiene sus máximos en los extremos: \( g(0),g(1)\in{[0,1]} \);
(c) Comprobar la propiedad lepsiciana
\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(0,1)}}} \)
La segunda derivada de \( g(x) \), \( -g''(x)=e^{-x}\in{C([0,1])} \) es estrictamente creciente, y \( |g(0)|=1\in{[0,1]} \); y nos interesa que esté en \( (0,1) \). Basta con considerar el intervalo \( (0.09,1) \), dado que \( g(0)=1 \)\( \color{magenta}-|g'(x)|\leq|g'(0.09)|<K=0.92<1\quad{\forall{x\in{(0.09,1)}}} \)
Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0\Rightarrow{g(x)=e^{-x}} \)
\( x_0=1 \)
\( x_1=g(x_0)=0.36787944117140 \)
\( x_2=g(x_1)=0.69220062755534 \)
\( x_3=g(x_2)=0.50047350056353 \)
\( x_4=g(x_3)=0.60624335085597 \)
...
\( x_{20}=g(x_{19})=0.567157044 \), con error \( <10^{-4} \)
¿Por qué veinte iteraciones? Porque \( K \) es muy alto.
Dudas
El Teorema de Bolzano Weierstrass, ¿es el del tutorial "Bolzano-Weierstrass (Convergencia monótona y Bolzano Weierstrass 3/3)"?La misma pregunta que en rojo¿Por qué nos interesa que esté en \( (0,1) \)?¿Por qué el signo negativo en \( -|g'(x)| \)? PS: Creo que podéis guiaros sólo por los títulos de los tutoriales; no haría falta que los vierais. Si el tutorial de Bolzano-Weierstrass es el correcto, no sé cómo encaja en el tutorial de la UCAM, es decir, ¿por qué implica que los valores máximo y mínimo de \( [0,1] \) están en los extremos del intervalo?.
¡Un saludo y gracias!
