Autor Tema: Método de iteración del punto fijo

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28 Enero, 2022, 12:51 pm
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Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón

Como no me aclaraba con este método en la introducción que hace el libro de texto, me metí en internet y encontré el tutorial "Análisis Numérico -Método iterativo de punto fijo - Jesús Soto..." en YouTube. Jesús Soto es profesor de la UCAM (Universidad Católica de Murcia). Transcribo lo que he apuntado tras visualizarlo:

Análisis numérico

Método iterativo de punto fijo

Sea \( f\in{C([a,b])} \). Si se reemplaza la ecuación \( f(x)=0 \) por otra equivalente, de la forma \( x=g(x) \), entonces \( \alpha \) es una raíz de ambas si y sólo si \( \alpha \) es un punto fijo de \( g \); es decir, que satisface \( \alpha=g(\alpha) \)

Teorema de punto fijo

Si \( g:[a,b]\rightarrow{[a,b]} \) es continua y derivable en \( [a,b] \) con \( |g'(x)|\leq K<1\quad\forall{x\in[a,b]} \) y dado un \( x_0\in{[a,b]} \), siendo \( x_0 \) el punto inicial, si establecemos la sucesión \( x_n=g(x_{n-1}) \), ésta es convergente:

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{x_n}=\alpha \)

entonces \( \alpha \) es raíz de la ecuación \( x=g(x) \).

Procedimiento

Dada \( f(x)=0 \) (una función que se plantea como una ecuación), debemos buscar que se transforme en \( x=g(x) \)

\( f(x)=0\Leftrightarrow{x=g(x)} \)

Tal que \( g \) verifique el Teorema del punto fijo, entonces la iteración nos llevará a la solución

1- \( g\in{C([a,b])} \), es decir, es continua en el intervalo donde se encuentra el \( 0 \) que

2- \( g \) está incluido dentro del intervalo

\( g([a,b])\subseteq{[a,b]} \)

3- Condición lepsiciana (que la derivada esté acotada en el intervalo siguiente)

\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(a,b)}}} \)

Se mira la gráfica, establecer \( [a,b] \) (donde está el \( 0 \))

Ejemplo Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0 \)

Consideramos la función

\( f(x)=x-e^{-x} \)

Graficamos la función, por ejemplo con Wolfram Alpha. Vemos que (i) es continua y derivable, y (ii) \( 0\in{[0,1]} \)

\( f(x)=x-e^{-x}=0\Leftrightarrow{x=e^{-x}=g(x)} \)

Veamos las condiciones del punto fijo

(a) \( g\in{C([0,1])} \);

(b) Que el dominio de la función esté incluido en su imagen, \( g([0,1]) \): \( -g'(x)=-e^{-x}\in{C([0,1])} \) mantiene el signo; por lo tanto es estrictamente decreciente. Según el Teorema de Bolzano-Weierstrass, \( g(x) \) tiene sus máximos en los extremos: \( g(0),g(1)\in{[0,1]} \);

(c) Comprobar la propiedad lepsiciana

\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(0,1)}}} \)

La segunda derivada de \( g(x) \), \( -g''(x)=e^{-x}\in{C([0,1])} \) es estrictamente creciente, y \( |g(0)|=1\in{[0,1]} \); y nos interesa que esté en \( (0,1) \). Basta con considerar el intervalo \( (0.09,1) \), dado que \( g(0)=1 \)

\( \color{magenta}-|g'(x)|\leq|g'(0.09)|<K=0.92<1\quad{\forall{x\in{(0.09,1)}}} \)

Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0\Rightarrow{g(x)=e^{-x}} \)

\( x_0=1 \)
\( x_1=g(x_0)=0.36787944117140 \)
\( x_2=g(x_1)=0.69220062755534 \)
\( x_3=g(x_2)=0.50047350056353 \)
\( x_4=g(x_3)=0.60624335085597 \)
...
\( x_{20}=g(x_{19})=0.567157044 \), con error \( <10^{-4} \)

¿Por qué veinte iteraciones? Porque \( K \) es muy alto.

Dudas

El Teorema de Bolzano Weierstrass, ¿es el del tutorial "Bolzano-Weierstrass (Convergencia monótona y Bolzano Weierstrass 3/3)"?
La misma pregunta que en rojo
¿Por qué nos interesa que esté en \( (0,1) \)?
¿Por qué el signo negativo en \( -|g'(x)| \)?
PS: Creo que podéis guiaros sólo por los títulos de los tutoriales; no haría falta que los vierais. Si el tutorial de Bolzano-Weierstrass es el correcto, no sé cómo encaja en el tutorial de la UCAM, es decir, ¿por qué implica que los valores máximo y mínimo de \( [0,1] \) están en los extremos del intervalo?.

¡Un saludo y gracias!
No man is an island (John Donne)

28 Enero, 2022, 06:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Dudas

El Teorema de Bolzano Weierstrass, ¿es el del tutorial "Bolzano-Weierstrass (Convergencia monótona y Bolzano Weierstrass 3/3)"?
La misma pregunta que en rojo

El teorema de Bolzano-Weierstrass es éste:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bolzano-Weierstrass

que no sé qué tendrá que ver con lo que expone el vídeo, o qué razonamiento está utilizando ahí.

Es decir, si \( g \) es estrictamente decreciente en \( [0,1] \), lo cual sabemos porque \( g'(x)<0 \) para todo \( x\in[0,1] \), entonces necesariamente sus máximos absolutos están en los extremos del intervalo, pero para eso no hace falta teorema alguno, sólo conocer la definición de ser "estrictamente decreciente". Es decir, si \( x<y\implies f(x)>f(y) \) para todo \( x,y\in[0,1] \) entonces es claro que \( f(0)>f(x) \) para todo \( x\in (0,1] \) y que \( f(x)>f(1) \) para todo \( x\in[0,1) \).

Citar
¿Por qué nos interesa que esté en \( (0,1) \)?

Porque es en el intervalo \( (0,1) \) donde se cumple que \( |g'(x)|<1 \).

Citar
¿Por qué el signo negativo en \( -|g'(x)| \)?

Debe ser un error tipográfico, el signo menos no tiene sentido ahí.

28 Enero, 2022, 06:53 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Si quieres practicar o hacer comprobaciones, puedes utilizar el applet del mensaje https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=93307.msg376321#msg376321. Con el ejemplo que estas considerando, requiere unas 60 iteraciones para conseguir 15 decimales.

En el foro https://foro.rinconmatematico.com/index.php?board=89.0 también hay otros dos sobre el método de Newton-Raphson y el de bisección o de Bolzano.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Enero, 2022, 07:57 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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