Autor Tema: Demostrar por definición que la sucesión no es de Cauchy

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26 Enero, 2022, 10:07 pm
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Joseph alejandro

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Hola sera que me pueden ayudar con este problema que no lo entiendo muy bien. gracias de antemano
   no es de Cauchy.

Latex corregido por moderador

26 Enero, 2022, 10:36 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Para \( \epsilon = 1 \) tienes que \( |(-1)^{n+1} - (-1)^n| = 2 > \epsilon  \)  para todo \( n \in \mathbb{N}  \)

26 Enero, 2022, 10:59 pm
Respuesta #2

Joseph alejandro

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Entonces, ¿ahí se puede decir que ya esta demostrada por la definición de sucesión?.

27 Enero, 2022, 12:06 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Si , con eso está demostrado que no es de Cauchy.

27 Enero, 2022, 09:07 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Entonces, ¿ahí se puede decir que ya esta demostrada por la definición de sucesión?.

Te detallo un poco más la cuestión. La definición de sucesión de Cauchy, es que \( \{x_n\} \) es de Cauchy si cumple que:

(1) para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0\in \Bbb N \) tal que si \( n,m\geq n_0 \) entonces \( |x_n-x_m|<\epsilon \)

Que NO se cumpla la definición significa que:

(2) existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( n_0\in Bbb N \) existen \( n,m\geq n_0 \) con \( |x_n-x_m|\geq \epsilon \)

Entonces Juan Pablo Sancho, aquí:

Para \( \epsilon = 1 \) tienes que \( |(-1)^{n+1} - (-1)^n| = 2 > \epsilon  \)  para todo \( n \in \mathbb{N}  \)

muestra que existe \( \epsilon=1 \) tal que para todo \( n_0\in \Bbb N \) tomando \( n=n_0+1 \) y \( m=n_0 \) (que cumplen \( n,m\neq n_0 \)) se tiene que \( |x_n-x_m|=|x_{n_0+1}-x_{n_0}|=|(-1)^{n+1} - (-1)^n| = 2 >1)= \epsilon  \).

Es decir muestra que se tiene (2) (la negación de ser sucesión de Cauchy).

Saludos.