[Gokiul]

Hola, a ver si podéis ayudarme con este problema:
Sean \( f,g:[2,3]\to\mathbb{R} \) dos funciones de clase \( C^1([2,3]) \) tales que \( f(3)=g(3)=0 \) y  tales que \( f'(3)=4,g'(3)=5 \).
a)Probar que para cada \( x\in[2,3] \) existe al menos un \( y\in (x,3) \) tal que \( f(x)/g(x)=f'(y)/g'(y) \)
b)Usar la definición delta-épsilon para probar que \( \lim_{x\to 3^-}f(x)/g(x)=4/5 \).
Sin usar el teorema de Cauchy o el de los Valores Medios.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, a ver si podéis ayudarme con este problema:
Sean \( f,g:[2,3]\to\mathbb{R} \) dos funciones de clase \( C^1([2,3]) \) tales que \( f(3)=g(3)=0 \) y  tales que \( f'(3)=4,g'(3)=5 \).
a)Probar que para cada \( x\in[2,3] \) existe al menos un \( y\in (x,3) \) tal que \( f(x)/g(x)=f'(y)/g'(y) \)

mmmm... la cuestión es que dices que no quieres/puedes utilizar el Teorema de Cauchy. Pero la clave es que cosas si puedes utilizar. Por ejemplo si puedes utilizar el Teorema de Rolle no tienes más que copiar la demostración del Teorema de Cauchy para este caso particular.

Spoiler

Definiendo \( h(y)=f(y)-\dfrac{f(x)}{g(x)}g(y) \) y aplicando el Teorema de Rolle en \( [x,3] \).

[cerrar]

Si tampoco puedes usar el Teorema de Rolle especifica EXACTAMENTE qué cosas puedes utilizar.

b)Usar la definición delta-épsilon para probar que \( \lim_{x\to 3^-}f(x)/g(x)=4/5 \).

Ahora no tengo tiempo de detallarlo pero es adaptar a este caso particular la demostración de que el límite del cociente es el cociente de los límites.

Saludos.

[PedroGzlez]

Con respecto al apartado a), había pensado en lo que comentas, perfecto. Por cierto, debe ser \( g(x)\neq 0 \) para ese \( x\in[2,3] \), no? Si no, la pregunta no tiene sentido. Además, ¿cómo sabemos que \( g'(y)\neq 0 \)? Puede que sea \( g'(y)=0 \) y en tal caso no podemos garantizar la existencia del punto que cumpla la condición dada, ¿cierto?
Con respecto al b), entiendo que habría que demostrar que el límite es el mismo que aquel de las derivadas, no?(L'Hopital)

[Luis Fuentes]

Hola

Con respecto al apartado a), había pensado en lo que comentas, perfecto. Por cierto, debe ser \( g(x)\neq 0 \) para ese \( x\in[2,3] \), no? Si no, la pregunta no tiene sentido. Además, ¿cómo sabemos que \( g'(y)\neq 0 \)? Puede que sea \( g'(y)=0 \) y en tal caso no podemos garantizar la existencia del punto que cumpla la condición dada, ¿cierto?

Si. Para evitar esos problemas puedes definir \( h(x)=f(y)g(x)-f(x)g(y) \).

Con respecto al b), entiendo que habría que demostrar que el límite es el mismo que aquel de las derivadas, no?(L'Hopital)

Si. Por el teorema de Rolle tienes que:

\( f(x)=f(x)-f(3)=f'(c_x)(x-3) \) con \( c_x\in (3,x) \)
\( g(x)=f(x)-f(3)=g'(d_x)(x-3) \) con \( d_x\in (3,x) \)

Entonces:

\( \dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{(5f'(c_x)-4g'(d_x))}{5g'(d_x)}=\dfrac{1}{5g'(d_x)}(5(f'(c_x)-4)-4(g'(d_x)-5) \)

y tomando valor absoluto:

\( \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{4}{5}\right|\leq \dfrac{1}{|5g'(d_x)|}(5|f'(c_x)-4|+4|g'(d_x)-5|) \)

Ahora usando la continuidad de las derivadas, dado \( \epsilon>0 \) existe \( \delta \) tal que:

\( z\in (3-\delta,3]\quad \Rightarrow{}\quad |f'(z)-4|<\epsilon,\quad |g'(z)-5|<\epsilon \)

(razona porque puedes tomar el mismo \( \delta \) para las dos funciones)

Además de ahí puedes deducir que cerca el \( 3 \), \( g'(d_x) \) está acotado.

En fin. ¿Sabes completar los detalles y terminar desde aquí?. ¡Inténtalo!.

Saludos.

[Gokiul]

Si. Para evitar esos problemas puedes definir \( h(x)=f(y)g(x)-f(x)g(y) \).

Pero, por Rolle podemos asegurar que existe un y tal que \( f'(y)g(x)-f(x)g'(y)=0 \). Ahora bien, para pasar el \( g'(y) \) al denominador necesitamos saber que es distinto de 0, ¿no?. No veo la diferencia con lo anterior.

Y con la segunda parte, entiendo que podemos coger el mínimo de ambos "deltas", y así tener uno en común para ambos. Lo demás lo consigo sacar 

[Luis Fuentes]

Hola

Si. Para evitar esos problemas puedes definir \( h(x)=f(y)g(x)-f(x)g(y) \).

Pero, por Rolle podemos asegurar que existe un y tal que \( f'(y)g(x)-f(x)g'(y)=0 \). Ahora bien, para pasar el \( g'(y) \) al denominador necesitamos saber que es distinto de 0, ¿no?. No veo la diferencia con lo anterior.

Si. Lo que quise decir es que así puedes garantizar que existe un \( y \) cumpliendo lo que dices; podrás ponerlo en forma de fracción sólo cuando no se anulen los correspondientes denominadores.

Y con la segunda parte, entiendo que podemos coger el mínimo de ambos "deltas", y así tener uno en común para ambos. Lo demás lo consigo sacar 

Bien.

Saludos.