Autor Tema: Determinantes de matrices cuadradas

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25 Enero, 2022, 12:01 am
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dayan

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Hola bien día!
Tengo que responder los siguientes incisos, pero no logro ver por donde llevar la demostración

Sea \[ A \in M_(\mathbb{R}) \] se cumple que
a) \(  Det(A^2 + I_n) \geq{0} \)
b) \[  Det(A^2 + A + I_n) \geq{0} \]

Como sugerencia me dicen que puedo factorizar \[ x^2+x+1  \]y usar propiedades de la multiplicación de matrices y complejos jugados
Siguiendo esa idea el primer inciso tengo que
a) \[  Det(A^2 + I_n) = Det((A-iI_n)(A+iI_n)) = Det(A-iI_n)Det(A+iI_n)  \] pero a partir de aquí no logro concluir la desigualdad

Pasa algo similar con el segund0 inciso, tengo que
b) \[  Det(A^2 + A + I_n) = Det((A+\dfrac{I_n - iI_n\sqrt{3}}{2I_n}) (A+\dfrac{I_n + iI_n\sqrt{3}}{2I_n})) \]

Gracias!

25 Enero, 2022, 07:41 am
Respuesta #1

geómetracat

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Lo único que te falta usar es que para cualquier matriz \[ A \] con entradas complejas se cumple que \[ \det(\overline{A}) = \overline{\det(A)} \], donde \[ \overline{A} \] denota la matriz compleja conjugada de \[ A \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Enero, 2022, 08:59 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Pasa algo similar con el segund0 inciso, tengo que
b) \[  Det(A^2 + A + I_n) = Det((A+\dfrac{I_n - iI_n\sqrt{3}}{2\color{red}I_n\color{black}}) (A+\dfrac{I_n + iI_n\sqrt{3}}{2\color{red}I_n\color{black}})) \]

Esas identidades en el denominador sobran.

Además ojo con usar la notación de fracciones para "dividir" por una matriz. No debes de utilizarla. En realidad cuando uno divide por una matriz lo que hace es multiplicar por su inversa (suponiendo que sea inversible).

El problema es que el producto de matrices NO es en general conmutativo. Entonces si escribimos \( \dfrac{A}{B} \) no sabemos si nos referimos a \( AB^{-1} \) ó \( B^{-1} A \).

Saludos.