[Ignacio Larrosa]

Problema 2. Sea ABC un triángulo isósceles con \( \angle BAC=100^\circ{} \). La bisectriz del ángulo \( \angle CBA \) corta al lado \( AC \) en el punto \( D \).
Demostrar que \( BD+DA=BC \).

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Una forma:

Spoiler

En el triángulo \( ADB \) por el Teorema de los Senos:

\( BD=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(60^o)},\quad AD=\dfrac{AB\cdot sin(20^o)}{sin(60^o)} \)

y en el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(40^o)} \)

Por tanto \( BD+AD=BC \) equivale a:

\( sin(100^o)sin(40^o)+sin(40^o)sin(20^o)=sin(100^o)sin(60^o) \) (*)

Usando la identidad \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \), (*) equivale a:

\( cos(60^o)-cos(140^o)+cos(20^o)-cos(60^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

\( cos(20^o)-cos(140^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

Pero como \( cos(x)=cos(180^o-x) \) efectivamente se da la igualdad.

[cerrar]

Saludos.

[Samir M.]

Hola

Una forma:

Spoiler

En el triángulo \( ADB \) por el Teorema de los Senos:

\( BD=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(60^o)},\quad AD=\dfrac{AB\cdot sin(20^o)}{sin(60^o)} \)

y en el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(40^o)} \)

Por tanto \( BD+AD=BC \) equivale a:

\( sin(100^o)sin(40^o)+sin(40^o)sin(20^o)=sin(100^o)sin(60^o) \) (*)

Usando la identidad \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \), (*) equivale a:

\( cos(60^o)-cos(140^o)+cos(20^o)-cos(60^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

\( cos(20^o)-cos(140^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

Pero como \( cos(x)=cos(180^o-x) \) efectivamente se da la igualdad.

[cerrar]

Saludos.

Bonito y sencillo. Con problemas como este se le coge el gusto a la geometría.

[Ignacio Larrosa]

Una solución sin trigonometría:



Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Una solución sin trigonometría:

 

Mira que le di vueltas para una prueba de ese estilo. El punto clave del que no fui capaz de ver es que \( D \) es el incentro del triángulo \( BDF. \)

Saludos.

[sugata]

Una solución sin trigonometría:



Saludos,

 
Precioso