Autor Tema: Libro Teoría de conjuntos - Carlos Ivorra | Conjuntos estacionarios

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Enero, 2022, 09:19 pm
Leído 224 veces

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 123
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En la página 204 se expone el siguiente teorema:

Sea \( \kappa \) un cardinal regular no numerable y sea E un subconjunto estacionario en \( \kappa \). Entonces el conjunto
T={\( \lambda\in{E} \)|cf \( \lambda=\aleph_{0}\vee\mbox{(cf }\lambda>\aleph_{0}\wedge{E\cap{\lambda}} \) no es estacionario en \( \lambda \))}
es estacionario en \( \kappa \).

Ahí me planteo cómo ha de ser el conjunto \( E\cap{\lambda} \) para no ser estacionario en \( \lambda \).

Si por ejemplo todos los elementos de \( \lambda \) también están en E, entonces \( E\cap{\lambda}=\lambda \) con lo que \( \lambda\setminus{(E\cap{\lambda)}}=\emptyset \), que no pertenece al conjunto de cerrados no acotados de \( \lambda \), por lo que entonces \( E\cap{\lambda} \) sería estacionario en \( \lambda \) y no se cumple la premisa.

Si por ejemplo ningún elemento de \( \lambda \) está en E, aunque esté el propio elemento \( \lambda \), entonces \( E\cap{\lambda}=\emptyset \) con lo que \( \lambda\setminus{(E\cap{\lambda)}}=\lambda \), que sí es un conjunto cerrado no acotado en \( \lambda \), por lo que \( E\cap{\lambda} \) no sería estacionario en \( \lambda \) y se cumple la premisa.

En resumen, si en \( E\cap{\lambda} \) no hay ningún elemento de \( \lambda \) o hay un número finito de elementos de \( \lambda \), entonces \( E\cap{\lambda} \) no es estacionario en \( \lambda \) y \( \lambda \), que pertenece a E, también forma parte del conjunto T.

¿Es correcto?

23 Enero, 2022, 09:36 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 10,028
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
No acabo de entender qué preguntas. Sí, todo lo que dices es correcto, pero no cubre todas las posibilidades, si es lo que pretendes (que no lo sé). Toma un cerrado no acotado \( C\subset \lambda \). Nada impide que \( E\cap C=\emptyset \), aunque haya muchos elementos en \( E\cap \lambda \), y entonces \( E\cap \lambda \) no es estacionario en \( \lambda \).

24 Enero, 2022, 03:21 pm
Respuesta #2

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 123
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sí, quería ver distintas posibilidades para entender mejor cómo es el conjunto estacionario T.

Así, tenemos que:

- Todos los \( \lambda \) de cofinalidad numerable que pertenecen a E, también pertenecen a T. Y pueden estar contenidos en E y en T. No hay restricciones en ese sentido.

- Respecto a los \( \lambda \) de cofinalidad no numerable, solo están en T aquellos elementos de E que no están completamente contenidos en E, que dejan fuera de E subconjuntos cerrados no acotados en \( \lambda \), los cuales no interseccionan con E. Y evidentemente, estos conjuntos cerrados no acotados en \( \lambda \) son acotados en \( \kappa \).

24 Enero, 2022, 03:39 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 10,028
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
- Respecto a los \( \lambda \) de cofinalidad no numerable, solo están en T aquellos elementos de E que no están completamente contenidos en E, que dejan fuera de E subconjuntos cerrados no acotados en \( \lambda \), los cuales no interseccionan con E. Y evidentemente, estos conjuntos cerrados no acotados en \( \lambda \) son acotados en \( \kappa \).

Si te refieres a cerrados no acotados \( C\subset \lambda \), obviamente están acotados en \( \kappa \), porque \( \lambda \) es una cota, ahora bien, puedes tener un cerrado no acotado \( C\subset \kappa \), de modo que \( C\cap \lambda \) es cerrado no acotado en \( \lambda \) y que sirva para justificar que \( \lambda \in T \), porque \( C\cap \lambda\cap E=\emptyset \), aunque, necesariamente, \( C\cap E\neq \emptyset \), pero los puntos de la intersección son mayores que \( \lambda \).

24 Enero, 2022, 04:35 pm
Respuesta #4

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 123
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias.

Esta era la pieza que me faltaba para tener la imagen completa.