Hola, estimado Rincón
He tirado por la calle del medio. He intentado traducir el texto, y concretar las dudas resaltando en rojo o subrayando allí donde tengo dudas. Y finalmente, las preguntas.
0.1 Método de Newton y el Teorema del Valor MedioEl método de Newton para calcular los ceros de funciones es un buen ejemplo de aplicación práctica del Teorema del Valor Medio. Sea \( f(x) \) una función real con dos derivadas continuas. Buscamos una
raíz de \( f \), es decir, un punto \( \hat{x} \) tal que \( f(\hat{x})=0 \). En el método de Newton, el cual es geométrico, consideramos la curva \( y=f(x) \). Esta curva cruza el eje \( x \) en el punto \( (x,f(x)) \). Sea \( x_0 \) la estimación inicial para la raíz. Para mejorar en la estimación dibujamos la línea tangente a la curva \( y=f(x) \) que pasa sobre el punto \( (x_0,f(x_0)) \) de la curva. Esta línea tangente satisface la ecuación
\( y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \)
La línea tangente atraviesa el eje \( x \) en el punto
\( x_1=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)
y tomamos \( x_1 \) como nuestra estimación mejorada de la raíz \( \hat{x} \). Ahora repetimos con \( x_1 \) este procedimiento para obtener una estima mejorada \( x_2 \), y así sucesivamente. Por lo tanto tenemos la secuencia \( \{x_n\} \) tal que
\( x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad{n=0,1,...,} \)
Necesitamos dar condiciones que garanticen que la secuencia convergerá a una raíz de \( f(x) \), y den información acerca de la tasa de convergencia. Para analizar este procedimiento definimos una función apropiada \( T(x) \) de esta forma
\( T(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)} \)
Todavía no estableceremos el dominio \( D \) de esta función, pero es claro que requiere \( f'(x)\neq{0} \) para todo \( x\in{D} \). Entonces \( \hat{x} \) será un punto fijo de \( T \) (\( T(\hat{x})=\hat{x} \)) si y sólo si \( f(\hat{x})=0 \). Para obtener la tasa de crecimiento de la iteración calculamos la derivada de \( T(x) \):
\( T'(x)=\dfrac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} \)
Como \( T'(\hat{x})=0 \), en la vecindad de la raíz seremos capaces de seleccionar una constante de decaimiento \( c<1 \), tal que la raíz sea un benevolente punto fijo de \( T \). En particular sea \( D=[\hat{x}-r,\hat{x}+r] \), donde \( |T'(x)|\leq{c<1} \) para todo \( x\in{D} \). (Si \( f'(\hat{x})\neq{0} \) siempre podemos encontrar una \( r \) tal que la desigualdad se cumpla para la constante \( c \) dada). Entonces si \( u,v\in{D} \), el Teorema del Valor Medio da \( T(u)-T(v)=T'(\tilde{u})(u-v) \), para algún \( \tilde{u}\in{D} \) entre \( u \) y \( v \). Por lo tanto \( |T(u)-T(v)|\leq{c\;|u-v|} \) para todo \( u,v\in{D} \). En particular
\( |x_n-\hat{x}|\leq\;c\;|x_{n-1}-\hat{x}|\leq...\leq\;c^n\;|x_0-\hat{x}| \)
Por lo tanto si \( x_0\in{D} \) entonces así son todos los \( x_n\in{D} \) y \( x_n\rightarrow{\hat{x}} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \)
La convergencia del algoritmo de Newton es de hecho mucho más rápido que el indicado desde este análisis. Esto se debe al hecho de que \( T'(\hat{x})=0 \). Podemos, de hecho, probar convergencia cuadrática.
Supongamos que podemos que podemos encontrar \( A,\;B \), números finitos positivos tal que \( B>|f''(x)| \) para todo \( x\in{D} \), y \( A<|f'(x)| \) para todo \( x\in{D} \), y establezcamos \( C=B/A \). Por el Teorema del Valor Medio hay un punto \( \tilde{x}_n\in{D} \), entre \( \hat{x} \) y \( x_n \), tal que
\( f(x_n)=f(x_n)-f(\hat{x})=f'(\tilde{x}_n)(x_n-\hat{x}) \)
así \( x_n-\hat{x}=f(x_n)/f(\hat{x}_n) \). Además, el Teorema del Valor Medio aplicado a \( f'(x) \) depara un punto \( \breve{x}_n \) entre \( x_n \) y \( \tilde{x}_n \) tal que
\( \color{red}f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n)=f''(\breve{x}_n)(x_n-\tilde{x}_n) \)
Entonces
\( |x_{n+1}-\hat{x}|=|(x_{n+1}-x_n)+(x_n-\hat{x})|=\left |{\dfrac{f(x_n)}{f'(\tilde{x}_n)}-\dfrac{f(x_n}{f'(x_n)}}\right | \)
\( \left |{\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)f'(\tilde{x}_n)}\left({f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n)}\right)}\right |=\left |{\dfrac{x_n-\hat{x}}{f'(x_n)}(f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n))}\right | \)
\( \left |{(x_n-\tilde{x}_n)(x_n-\hat{x})\dfrac{f''(\color{green}\breve{x}_n\color{black})}{f'(x_n)}}\right |\color{red}\leq{C\color{black}\;|x_n-\hat{x}|^2} \)
Por lo tanto \( |x_{n+1}-\hat{x}|\leq{C\;|x_n-\hat{x}|^2} \) y la convergencia es cuadrática. Esto significa que el número de dígitos de precisión en nuestra aproximación casi dobla con cada iteración.
Ejemplo 1 Aproximamos \( \sqrt{7} \) empleando el método de Newton para encontrar la raíz positiva de la función
\( f(x)=x^2-7 \)
Aquí el paso de iteración es dado por la función
\( T(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2x} \)
Sea \( D=\{x:2\leq x\leq 7\} \) y elegimos la aproximación inicial \( x_0=2 \). Nótese que
\( \left |{\dfrac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}}\right |=\left |{\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2x}}\right |\leq{\dfrac{3}{8}}=c \)
Para \( x\in{D} \). Por lo tanto
\( |x_n-\color{red}\sqrt{2}\color{black}|\leq\dfrac{3}{8}|x_{n-1}-\sqrt{7}|\leq\;...\;\leq\left({\dfrac{3}{8}}\right)^n|2-\sqrt{7}|\rightarrow{0} \)
cuando \( n\rightarrow{\infty} \). La tasa de convergencia es más rápida que esta, sin embargo. Realmente \( |f''(x)|=2=B \) y \( |f'(x)|=|2x|\geq 4=A \) para todo \( x\in{D} \). Por lo tanto, estableciendo \( C=\dfrac{B}{A}=\dfrac{1}{2} \), tenemos
\( |x_{n+1}-\sqrt{7}|\leq\dfrac{1}{2}|x_n-\sqrt{7}|^2\qquad{n=0,1,...,} \)
y el número de dígitos de precisión garantizada más que se duplica con cada iteración. Realmente, tenemos (calculando los primeros 10 dígitos)
\( x_0=2 \)
\( x_1=2.75 \)
\( x_2=2.647727273 \)
\( x_3=2.645752048 \)
\( x_4=2.645751311 \)
Aquí, \( x_4 \) es correcto hasta más de 10 dígitos (si calculamos a tantos decimales) y \( (x_4)^2=7.0000000000 \). Como \( x_3 \) tiene 6 dígitos de precisión, \( x_5 \) tendría 24 dígitos de precisión.
Preguntas1- ¿Por qué \( C\in{\Bbb Q} \)?¿por qué \( B<A \)?
2- El Teorema del Valor Medio, ¿se puede aplicar a primeras, segundas,... derivadas, como lo hace en este caso?
3- En el ejemplo, para determinar \( A \) y \( B \), emplea la negación de lo que afirma en la teoría. ¿Cómo se concilian los dos enunciados?
4- He resaltado \( \sqrt{2} \). ¿Es una errata?.
¡Un saludo!
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