Autor Tema: Concepto de continuidad

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Enero, 2022, 10:58 am
Respuesta #20

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,327
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra

Eso es entrar en la psicología del alumno; no dudo que hoy por hoy causaría problemas y el alumno pensase como tu dices. Pero realmente estaría entendiendo mal las cosas.

Indudablemente, pero diciendo que 1/x es continua, sin otras apreciaciones, creo que le ayudamos bastante a ello.

Porque TODOS los que estamos en este debate estamos de acuerdo en que  NO es continua en \( x=0 \).

Pero si NO ES continua en x = 0, me parece engañoso decir que ES continua. Y \( \mathbb{R} \) no es cualquier conjunto, es lo que a veces se llama conjunto Inicial, que no Dominio, de la aplicación,  que en el caso de funciones reales de variable real, es  \( \mathbb{R} \).

El matiz es que para unos simplemente no está definida en ese punto y no tiene sentido hablar de continuidad (ni discontinuidad) en él; para otros si tiene sentido hablar de discontinuidad en él. Entonces si el alumno entiende que si es continua lo es en cualquier intervalo, pues entiende mal las cosas y hay que ayudarle a que las entienda bien. Si es continua es continua en cualquier subconjunto de su dominio (que tampoco es tan difícil de entender), no en el conjunto que nos de la gana.

Citar
Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

No. La frase "continua en un conjunto \( U \)" significa continua en todos los puntos de \( U \). La frase continua a secas, significa continua en su dominio. Ambas son definiciones coherentes y compatibles. Entonces si se explican así las cosas no hay que reformular nada. La función \( 1/x \) no es continua en \( [-1,1] \) porque no está definida en \( x=0 \).

Si, creo que en esto esta de acuerdo todo el mundo, la continuidad en un conjunto implica que la función esta definida en el conjunto. Pero es el obviar los puntos en que no esta definida al decir que es continua sin más, es lo que me lleva, forzando el argumento, a reclamar que se exija la definición de la función en el conjunto en que se trata de aplicar. Evidentemente creo que es mejor opción hablar de continuidad en su dominio.



Citar
Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:




Lanzo algunas preguntas no retóricas (o a lo mejor un poquito si, o un poco capciosas, pero me gustaría una respuesta  :D):

1) Con la definición del Apóstol la función \(  ln(x) \) no es continua en \( -1 \). ¿Qué te parece eso?.


Pues cada vez me inclino más por decir que no es continua en x=-1. Es decir, es falso que sea continua en x=-1. Recordando aquello del tercio excluido, o es continua o no lo es, y en esta caso claramente no lo es. Tampoco es continua en z=i, como función real de variable real, pero ahí ya nos salimos del conjunto inicia en el que estábamos trabajando.

2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).


3) La función que le proponía a Martiniano:

 
Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:



¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

¿Qué motivo darías tu para que no se pueda aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \)?. ¿Qué no está definida en todo el intervalo? ¿O aludirías a problemas de continuidad?. ¿Cómo se lo explicarías a un alumno?. Y otra cuestión más, ¿dirías que es una función continua? (estas preguntas me interesan especialmente)

Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \). Si se intenta verificar las hipótesis del teorema vemos que no es continua en [-1,1] puesto que de entrada no esta definida.

Citar
Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

 Estoy de acuerdo. Pero por ejemplo, no veo que ese matiz aparezca en el Apóstol; no al menos en las páginas que has puesto. Seguro que aparece en la práctica, es decir, implícitamente pero no lo veo explícito. Si no se hace se llegaría al absurdo (en mi opinión) de que siguiendo su propio convenio tener que decir que la función logaritmo no es continua.
Pues como puede verse en lo anterior, me voy reconduciendo a mi pensamiento previo a todo este asunto. Creo que puse en la intención de Apostol cosas que no expresa. Una función donde no está definida no puede ser, y por tanto no es, continua.

Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

 
Añado una cosa más, me parece que profesores Universitarios y de Bachillerato deberían de ser conscientes de la disparidad de criterios en esas definiciones y a la hora de corregir un ejercicio, sobre todo en las EBAU, permitir las dos posibilidades. En una asignatura donde el profesor marca las reglas, puede pasar que el profesor imponga su criterio; pero en las EBAU, que son pruebas externas, debería de haber sensibilidad a la posible disparidad de convenios.

Completamente de acuerdo.

Yo creo que toda la discusión es bastante nominalista, sobre como llamamos a las cosas o que definiciones utilizamos, sobre el fondo nadie discrepa. Pero la terminología es fundamental para evitar confusiones.

Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

24 Enero, 2022, 11:48 am
Respuesta #21

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,075
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Indudablemente, pero diciendo que 1/x es continua, sin otras apreciaciones, creo que le ayudamos bastante a ello.

Nada que decir sobre esto. Es psicología.

Citar
Pero si NO ES continua en x = 0, me parece engañoso decir que ES continua. Y \( \mathbb{R} \) no es cualquier conjunto, es lo que a veces se llama conjunto Inicial, que no Dominio, de la aplicación,  que en el caso de funciones reales de variable real, es  \( \mathbb{R} \).

Esto lo comento después cuando vayamos a la función logaritmo.

Citar
Pues cada vez me inclino más por decir que no es continua en x=-1. Es decir, es falso que sea continua en x=-1. Recordando aquello del tercio excluido, o es continua o no lo es, y en esta caso claramente no lo es. Tampoco es continua en z=i, como función real de variable real, pero ahí ya nos salimos del conjunto inicia en el que estábamos trabajando.

Es que estamos de acuerdo, no es continua en \( x=-1 \) (porque no está definida). Hice mal la pregunta.

¿Dirías que tiene una discontinuidad en \( x=-1 \)?¿De qué tipo?.  :D

Citar
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).

Aquí varias cosas y creo que está el fondo de tu opinión.

- Básicamente a ti no te gusta decir "función continua" a secas salvo que sea continua en todos los reales. Pues no tengo mucho que decir al respecto. Es un gusto respetable. Ahora bien se puede usar perfectamente función continua a secas de manera totalmente clara, nítida, intuitiva, coherente y sin ambigüedades; significa continua en todos los puntos de su dominio. ¡Y de hecho se usa!.

- Sin embargo a mi me parece que con la función logaritmo, eres más papista que el Papa. Sinceramente yo creo que el 99% de los matemáticos, profesores de Bachillerato o no, con unos u otros criterios, dirían sin tapujos que la función logaritmo es continua. Sin matices. Si Juan Medina hubiera twiteado: "No me canso de decir que la función \( ln(x) \) es continua" no hubiera habido la más mínima polémica.

- A donde voy es que yo creo que SI se usa función continua a secas en todo los ámbitos, y no sólo para funciones definidas en todos los reales (la función raíz cuadrada sería otro ejemplo).

Citar
Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \).

Ya... volvemos a lo mismo. Si le ponemos el apellido de indicar donde es continua, todos estamos de acuerdo.

Rizando un poco el rizo, sin embargo según tu criterio NO es continua (a secas). Entonces un alumno picajoso podría decir. ¿Cuáles son sus puntos de discontinuidad? ¿Cómo los clasificamos?.

Vaya por delante que se puede responder al alumno sin problemas, explicándole lo que pase en esos puntos. Pero lo que trato de resaltar es que admito que los dos criterios son defendibles; pero no vender uno como más claro, natural, menos confuso  o coherente con otro, entendiendo que los dos estén bien explicados.

 
Citar
Si se intenta verificar las hipótesis del teorema vemos que no es continua en [-1,1] puesto que de entrada no esta definida.

¡Exacto!. Como \( 1/x \) que no es continua en \( [-1,1] \) porque de entrada no está definida. Una vez más en eso todos de acuerdo.


Citar
Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

La continuidad en un punto del dominio se puede definir perfectamente en términos de \( \epsilon-\delta \) de manera que se pueda aplicar a puntos aislados del domino y resulten continuos.

En general me parece que mezclas la continuidad de la función con la conexidad del domino. Desde el punto de vista topológico y de manera intuitiva la continuidad refleja la idea de que el domino no se rompe al aplicar la función; en el caso de las funciones continuas con dominio NO conexo, eso se cumple. No se rompe el domino con la función; el dominio está "roto" de antemano, y cada trozo del mismo se aplica en un trozo de la imagen.

Citar
Yo creo que toda la discusión es bastante nominalista, sobre como llamamos a las cosas o que definiciones utilizamos, sobre el fondo nadie discrepa. Pero la terminología es fundamental para evitar confusiones.

Bien.

Saludos.

24 Enero, 2022, 01:47 pm
Respuesta #22

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,327
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Hola,
Ésta página de 'A Course of Pure mathematics' de G.H. Hardy creo que dice bastantes cosas interesantes respecto a todo esto:




¿Dirías que tiene una discontinuidad en \( x=-1 \)?¿De qué tipo?.  :D

Pues hay quien la denomina discontinuidad de 2ª especie por no estar definida ni poder definirse con continuidad. Me refiero a casos como este específicamente, puntos del interior de un intervalo en todo el cual la función no esta definida. En cuanto relocalice el libro acompaño una foto.

Citar
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).

Aquí varias cosas y creo que está el fondo de tu opinión.

- Básicamente a ti no te gusta decir "función continua" a secas salvo que sea continua en todos los reales. Pues no tengo mucho que decir al respecto. Es un gusto respetable. Ahora bien se puede usar perfectamente función continua a secas de manera totalmente clara, nítida, intuitiva, coherente y sin ambigüedades; significa continua en todos los puntos de su dominio. ¡Y de hecho se usa!.

- Sin embargo a mi me parece que con la función logaritmo, eres más papista que el Papa. Sinceramente yo creo que el 99% de los matemáticos, profesores de Bachillerato o no, con unos u otros criterios, dirían sin tapujos que la función logaritmo es continua. Sin matices. Si Juan Medina hubiera twiteado: "No me canso de decir que la función \( ln(x) \) es continua" no hubiera habido la más mínima polémica.

- A donde voy es que yo creo que SI se usa función continua a secas en todo los ámbitos, y no sólo para funciones definidas en todos los reales (la función raíz cuadrada sería otro ejemplo).

Sin duda, la afirmación de que \( ln(x) \) es continua, sin más, es mucho menos chocante. Pero Hardy por ejemplo, se cuida muy mucho de hablar de continuidad sin más especificaciones. Habla de función continua en un punto, en un intervalo y en todas partes, esto último cuando lo es para cada valor de x. Quiero con esto decir que parece claro que hay diferentes posturas.

Citar
Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \).

Ya... volvemos a lo mismo. Si le ponemos el apellido de indicar donde es continua, todos estamos de acuerdo.

Rizando un poco el rizo, sin embargo según tu criterio NO es continua (a secas). Entonces un alumno picajoso podría decir. ¿Cuáles son sus puntos de discontinuidad? ¿Cómo los clasificamos?.
Esto ya lo comenté antes. De todas formas, algo que insistí siempre con mis alumnos es que no se preocupasen mucho del nombre de la discontinuidad, puesto que hay una cierta diversidad en la nomenclatura, sino en decir claramente porque no es continua en los puntos en cuestión.

Citar
Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

La continuidad en un punto del dominio se puede definir perfectamente en términos de \( \epsilon-\delta \) de manera que se pueda aplicar a puntos aislados del domino y resulten continuos.

Con la  \( \epsilon-\delta \) se puede, aunque no todo el mundo lo hace, como Hardy y Juan de Burgos, por ejemplo. Ambos exigen que la función este definida en un entorno del punto (para la continuidad, otra cosa es la continuidad lateral). Con la definición que emplea límites, no se puede.

En general me parece que mezclas la continuidad de la función con la conexidad del domino. Desde el punto de vista topológico y de manera intuitiva la continuidad refleja la idea de que el domino no se rompe al aplicar la función; en el caso de las funciones continuas con dominio NO conexo, eso se cumple. No se rompe el domino con la función; el dominio está "roto" de antemano, y cada trozo del mismo se aplica en un trozo de la imagen.
Si, creo que ya lo dije en más de una ocasión, no entiendo que pueda hablarse de continuidad de una función si su dominio no es continuo (conexo). Yo me quedo con la idea de que donde la función es continua, a valores próximos de la variable, corresponden valores próximos de la función. Si no es así, por ejemplo porque no existen los valores de la función, no se puede, entiendo yo, decir que la función es continua.

Saludos.
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

24 Enero, 2022, 06:08 pm
Respuesta #23

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,075
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola
 
 Creo que no tengo mucho más que añadir. No dudo que haya autores (reputados) que sigan el criterio que dices.  No dudo que pueda desarrollarse la teoría como dices de manera totalmente coherente.

 En mi opinión tu concepto de continuidad está mezclado de con el de conexidad. Lo cual una vez más es respetable; todo lo depende de la definiciones y el contexto.

 Para mi la ventaja de considerar \( 1/x \) continua o una función definida sólo en un punto aislado continua, es que  esa noción es compatible, con la noción de continuidad que se usa en topología. Modernamente, la topología es por excelencia la rama de las matemáticas que explora y estudia la noción de continuidad.

Saludos.

24 Enero, 2022, 07:11 pm
Respuesta #24

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,327
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Hola,

Debo reconocer que la topología, más allá de las nociones iniciales, nunca me entusiasmó, por lo que ese otro punto de vista me resulta menos atrayente, aparte de verlo más alejado de mi ex-práctica docente.

Pero esta discusión, en Twitter y aquí, me ha servido para entender que es posible ese otro punto de vista, que seguro que tiene sus ventajas y que haya quien lo defiende seriamente. Cuando vi el primer mensaje en Twitter, me fuí directamente al calendario, como seguro que más de uno, a ver si era 28 de diciembre ...

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

24 Enero, 2022, 08:14 pm
Respuesta #25

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,420
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola,

Debo reconocer que la topología, más allá de las nociones iniciales, nunca me entusiasmó, por lo que ese otro punto de vista me resulta menos atrayente, aparte de verlo más alejado de mi ex-práctica docente.

Pero esta discusión, en Twitter y aquí, me ha servido para entender que es posible ese otro punto de vista, que seguro que tiene sus ventajas y que haya quien lo defiende seriamente. Cuando vi el primer mensaje en Twitter, me fuí directamente al calendario, como seguro que más de uno, a ver si era 28 de diciembre ...

Saludos,

Lo importante en matemáticas es la consistencia, es decir, da igual cómo definas las cosas siempre y cuando las demostraciones en base a esas definiciones sean correctas. Que todo sea consistente, vamos. Lo demás es una cuestión de convención y de tomar un lenguaje, más o menos común, para que una comunidad pueda entenderse.

Dicho esto, la noción que actualmente se utiliza de continuidad en todas partes, al menos a nivel universitario, es una equivalente a la topológica. Pero entiendo que, por motivos pedagógicos, las nociones puedan ser diferentes en la enseñanza obligatoria.

24 Enero, 2022, 08:52 pm
Respuesta #26

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,060
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Solamente añadir a lo que ya se ha dicho que la definición topológica de continuidad no es un capricho, al igual que tampoco lo es decir que una función es continua en un punto aislado de su dominio.

Son nociones que aparecen de manera natural, y es la generalización adecuada y más útil cuando se trabaja con funciones que no están definidas en subconjuntos de \[ \Bbb R \]. Por ejemplo, una propiedad esencial de la continuidad es que cualquier restricción de una función continua es continua, y si aceptas esto debes aceptar que una función es continua en un punto aislado de su dominio. Y este hecho es fundamental en muchas partes de la matemática moderna. Por poner un ejemplo, esto se usa continuamente en geometría diferencial.

El problema de todo esto es que en secundaria, y en análisis real de una variable más en general, \[ \Bbb R \] tiene un papel esencial y siempre está detrás como "espacio ambiente", lo cual es en cierta manera antinatural (desde mi punto de vista). Por ejemplo, lo que comentaba antes Ignacio de espacio inicial asociado a una función, a distinguir del dominio, es algo que yo nunca he visto y que además dudo que tenga ninguna utilidad o que alguien lo use fuera de \[ \Bbb R \].

Entiendo que decir cosas como que no tiene sentido plantearse la continuidad de una función en un punto aislado de su dominio (o incluso decir que no es continua ahí) puede tener algunas ventajas a nivel pedagógico en secundaria o un primer curso universitario, pero hay que ser consciente de que si el alumno sigue estudiando matemáticas a nivel superior en algún momento va a tener que ir en contra de ese convenio.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)