Autor Tema: Premio por demostración de la Conjetura de Collatz

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15 Diciembre, 2021, 07:51 pm
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Granmurillo

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Les comunico a todos que en Julio 2021 han ofrecido un premio con vigencia de 10 años para solución del problema de Collatz de un millón de dòlares. Las bases en https://mathprize.net/files/collatz-conjecture-rule-en-20210707.pdf

16 Diciembre, 2021, 02:48 pm
Respuesta #1

Granmurillo

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Es interesante que el premio se le otorgue a una solución no importa si demuestra que la conjetura sea verdadera o si demuestra que es falsa. Se entiende que no se considerarían los artículos que indiquen que no es demostrable.

16 Diciembre, 2021, 04:43 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Igual se me escapa algo pero no veo que se pueda demostrar que esta conjetura sea indemostrable.

Quiero decir, si fuese indemostrable entonces no existiría ningún contraejemplo y sería, además de indemostrable, verdadera, por lo que parece que no se puede demostrar tal cosa sin demostrar también que la conjetura es verdadera. ¿No crees?

Un saludo.

16 Diciembre, 2021, 05:13 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Hola.

Igual se me escapa algo pero no veo que se pueda demostrar que esta conjetura sea indemostrable.

Quiero decir, si fuese indemostrable entonces no existiría ningún contraejemplo y sería, además de indemostrable, verdadera, por lo que parece que no se puede demostrar tal cosa sin demostrar también que la conjetura es verdadera. ¿No crees?

Un saludo.

Bueno, depende de lo que entiendas por "indenostrable", es un poco más delicado. Puede pasar perfectamente que no se pueda demostrar (ni refutar) en un sistema axiomático como ZFC, o como la aritmética de Peano. Lo que pasa es que si sucede esto, por el argumento que das sabríamos que la conjetura es verdadera en el modelo estándar de los naturales, es decir, lo que todos entendemos cuando decimos "los naturales", que al fin y al cabo es lo que nos interesa. Pero como decía, puede pasar que haya modelos no estándar de los naturales (que sean modelos de PA, por ejemplo), donde la conjetura sea falsa a pesar de ser cierta en el modelo estándar. En tal caso la conjetura sería indemostrable en PA.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Diciembre, 2021, 05:15 pm
Respuesta #4

Granmurillo

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Es por lo que hay algunos artículos que indican que la conjetura es indecidible. Al parecer el premio es para incentivar a una demostración sea verdadera o falsa por lo importante que se ha vuelto el algoritmo en seguridad y automatización.

16 Diciembre, 2021, 11:31 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Bueno, depende de lo que entiendas por "indenostrable", es un poco más delicado. Puede pasar perfectamente que no se pueda demostrar (ni refutar) en un sistema axiomático como ZFC, o como la aritmética de Peano. Lo que pasa es que si sucede esto, por el argumento que das sabríamos que la conjetura es verdadera en el modelo estándar de los naturales, es decir, lo que todos entendemos cuando decimos "los naturales", que al fin y al cabo es lo que nos interesa. Pero como decía, puede pasar que haya modelos no estándar de los naturales (que sean modelos de PA, por ejemplo), donde la conjetura sea falsa a pesar de ser cierta en el modelo estándar. En tal caso la conjetura sería indemostrable en PA.

Buff... Creo que me he metido en unos terrenos un tanto pantanosos para mí...  ;D ¿Te importa comentarme algo sobre lo que es el modelo estándar de los naturales si es que hay alguna definición precisa? ¿Y un modelo PA?

Entiendo que te refieres a que cuando decimos que una sentencia es indemostrable debemos especificar respecto a qué teoría axiomática y que yo usé el término un tanto a la ligera. ¿Conoces algún ejemplo de sentencia que sea indemostrable en alguno de los sistemas axiomáticos que dices y no lo sea en el modelo estándar de los números naturales?

Los axiomas de ZFC me los he mirado alguna vez así por encima y entiendo que resumen la esencia de lo que en matemáticas llamamos conjunto (o esa es la conclusión que yo saqué de todo esto). De forma parecida los axiomas de Peano resumen lo que entendemos por número natural... O esa es la idea con la que me quedé yo, al menos...

Y ahí me quedo...

Gracias. Un saludo.

17 Diciembre, 2021, 11:49 am
Respuesta #6

geómetracat

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Sí, los terrenos de la lógica son bastante pantanosos...  >:D
Intentaré explicarte un poco el asunto lo mejor que pueda, aunque esto da básicamente para un primer curso de lógica. Si nunca has visto nada de lógica matemática, es necesario explicar bastantes cosas, así que el mensaje será largo, pero lo voy a intentar. Necesariamente voy a ser un tanto vago e impreciso al explicar algunos conceptos y me voy a dejar casi todos los detalles, para no escribir aquí un libro, pero espero que se entienda algo, y si no se entiende, vuelve a insistir.

En lógica formal siempre hay dos vertientes: la sintáctica y la semántica. La parte sintáctica trata de lo que llamamos "demostraciones formales". Aquí se ven las fórmulas como conjuntos de símbolos. Un sistema axiomático es un conjunto de axiomas (fórmulas que quieres considerar como "verdaderas", aunque en la parte sintáctica aún no hay noción de verdad) y reglas de inferencia, que te dicen cómo obtener nuevas fórmulas a partir de otras. Por ejemplo una regla de inferencia típica es el modus ponens: a partir de \[ \varphi \to \psi \] y de \[ \varphi \] puedes obtener \[ \psi \]. Entonces, en un sistema axiomático fijado, se define una demostración de una fórmula \[ \varphi \] como una sucesión de fórmulas \[ \psi_1, \psi_2, \dots, \psi_n=\varphi \] que acaba en \[ \varphi \], donde cada fórmula es o bien un axioma, o se sigue de las anteriores usando una regla de inferencia. (En realidad hay muchas maneras de definir "demostración", bastante distintas pero todas equivalentes. Esta es una de las más sencillas de entender, así que quédate con esta).

Normalmente, siempre se trabaja con un sistema axiomático de "base" que permite deducir todas las fórmulas que uno intuitivamente querría que sean demostrables, que se siguen por motivos puramente lógicos (para entendernos, tautologías, pero en lógica de primer orden), cosas como \[ \forall x (x=x) \] o como \[ (\varphi \to \psi)\wedge \varphi \to \psi \] para cualquier par de fórmulas \[ \varphi, \psi \], etc. A los axiomas de este sistema axiomático de base se les conoce como "axiomas lógicos". Si una fórmula \[ \varphi \] se puede demostrar en este sistema base (a partir de axiomas lógicos y reglas de inferencia) se denota así: \[ \vdash \varphi \].

Ahora bien, a nosotros nos interesa hablar de cosas que no son puramente lógicas, como números naturales, conjuntos, grupos, etc. Entonces lo que hacemos es suplementar primero el lenguaje con el que podemos construir fórmulas con nuevos símbolos (por ejemplo, \[ \in \] para la teoría de conjuntos, \[ 0, S, +, \cdot \] para la aritmética, \[ \cdot, e \] para los grupos), y después suplementamos el sistema axiomático de base con axiomas que son fórmulas que van a describir cómo son esos objetos, es decir, fórmulas que intuitivamente queremos que sean verdaderas para esos objetos.
Voy a usar como ejemplo la teoría de grupos. Aquí añadimos los símbolos \[ \cdot \] y \[ e \] (que van a ser la multiplicación del grupo y el elemento neutro) y los axiomas:
\[ A. \forall x \forall y \forall z (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z) \]
\[ E. \forall x (e\cdot x=e \wedge x \cdot e = x) \]
\[ I. \forall x \exists y (x \cdot y = e \wedge y \cdot y = e)  \]
Intuitivamente, \[ A \] es la asociatividad, \[ E \] el hecho de que \[ e \] es el elemento neutro, e \[ I \] el hecho de que todo elemento tiene inverso. A partir de esto y de los axiomas y reglas de inferencia del sistema de base, podemos demostrar formalmente teoremas de la teoría de grupos, como \[ \forall u (\forall x (u \cdot x=x \wedge x \cdot u=x) \to u=e) \] (unicidad del elemento neutro), etc.
Si \[ \Gamma \] es un conjunto de fórmulas, escribimos \[ \Gamma \vdash \varphi \] para denotar que la fórmula \[ \varphi \] se puede demostrar tomando el sistema base y además las fórmulas de \[ \Gamma \] como axiomas adicionales. Así, si llamamos al conjunto de los tres axiomas de arriba \[ TG \], tenemos que \[ TG \vdash \forall u (\forall x (u \cdot x=x \wedge x \cdot u=x) \to u=e)  \].
Igualmente hay axiomas que pretenden describir cómo funcionan los conjuntos (el más famoso es \[ ZFC \]), o cómo funcionan los naturales (el más famoso es la aritmética de Peano, \[ PA \], del que puedes ver los axiomas aquí).

Lo que es importante es observar que esto es todo puramente formal y mecánico, es decir, no hacemos ningún caso a qué significan los símbolos, y una vez tenemos nuestros axiomas y reglas de inferencia podemos poner un ordenador a hacer demostraciones.

Ahora pasamos a la parte semántica de la lógica. Aquí lo que pretendemos es entrar en el significado de las fórmulas, ya no verlas como meras cadenas de símbolos, sino como enunciados que expresan algo sobre unos objetos. Para ello se define la noción de modelo. Un modelo (a secas) es un conjunto junto con una interpretación de los símbolos no lógicos (los que hemos añadido antes, como \[ \in \] en teoría de conjuntos, o \[ \cdot, e \] en grupos). Por ejemplo, en el caso del lenguaje de teoría de grupos un modelo podría ser un conjunto \[ M \] junto con una operación binaria \[ \cdot^M:M \times M \to M \] y un elemento \[ e^M \in M \]. Ponemos un superíndice \[ M \] para distinguir la interpretación del símbolo en el modelo del símbolo en sí. Es decir, \[ \cdot \] es un simple símbolo, mientras que \[ \cdot^M \] es una función.
Ahora, fijado un modelo podemos interpretar una fórmula como un enunciado que está diciendo cosas sobre el modelo, que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, considera el grupo \[ \Bbb Z/2 \] como modelo, es decir, el conjunto \[ \Bbb Z/2 = \{0, 1\} \] junto con la operación usual definida por \[ 0 \cdot^{\Bbb Z/2} 0 = 1 \cdot^{\Bbb Z/2} 1 = 0 \] y \( 1 \cdot^{\Bbb Z/2} 0 = 0 \cdot^{\Bbb Z/2} 1 = 1 \) y el neutro \[ e^{\Bbb Z/2} = 0 \].
En este modelo podemos decir que la fórmula \[ \forall x\forall y(x\cdot y = y \cdot x) \] es verdadera, pero \[ \exists x (x \cdot x) \neq e \] es falsa. Hay una definición precisa de cúando una fórmula es verdadera en un modelo, que se da recursivamente, pero no la voy a poner porque es larga y no creo que aporte mucho. Confío en que sabes interpretar las fórmulas (y si no es así, dilo).
Si una fórmula \[ \varphi \] es verdadera en un modelo \[ M \], lo denotamos por \[ M \models \varphi \]. Así por ejemplo, hemos visto que \[ \Bbb Z/2 \models \forall x\forall y(x\cdot y = y \cdot x) \].
Dado un conjunto de fórmulas \[ \Gamma \], decimos que un modelo \[ M \] es un modelo de \[ \Gamma \] si todas las fórmulas de \[ \Gamma \] son verdaderas en \[ M \]. Así, por ejemplo \[ \Bbb Z/2 \] es un modelo de \[ TG \]. Un modelo de \[ PA \] sería cualquier modelo en que los axiomas de \[ PA \] sean verdaderos, etc.
Y finalmente, denotamos por \[ \Gamma \models \varphi \] el hecho de que para todo modelo \[ M \] de \[ \Gamma \] se tiene \[ M \models \varphi \]. Así, por ejemplo, tenemos que \[ TG \models \forall u (\forall x (u \cdot x=x \wedge x \cdot u=x) \to u=e) \] (todo modelo que cumple los axiomas de grupo cumple también que el neutro es único), pero \[ TG \not \models \forall x \forall y (x \cdot y = y \cdot x) \], porque hay grupos que no son conmutativos.

Fíjate que hemos definido dos relaciones: \[ \Gamma \vdash \varphi \] y \[ \Gamma \models \varphi \], la primera sintáctica, usando procedimientos mecánicos, y la segunda semántica, atendiendo a qué significan las fórmulas una vez interpretadas en un modelo. El resultado básico más importante en lógica matemática es el teorema de completitud de Gödel (no confundir con los teoremas de incompletitud): ambas relaciones coinciden. Esto se suele partir en dos partes. La primera es que si \[ \Gamma \vdash \varphi \] entonces \[ \Gamma \models \varphi \]. A esto se le llama también teorema de corrección, y está claro que si no tuviéramos esta propiedad ya podríamos tirar las demostraciones formales a la basura porque nos permitirían concluir cosas falsas (en algún modelo) a partir de cosas verdaderas. La parte más interesante es la otra, la que se llama teorema de completitud propiamente dicho: si \[ \Gamma \models \varphi \] entonces \[ \Gamma \vdash \varphi \]. Esto quiere decir que si una fórmula \[ \varphi \] es verdadera en todos los modelos de \[ \Gamma \] entonces es demostrable en el sistema axiomático. O usando el contrarrecíproco, si una fórmula no se puede demostrar a partir de \[ \Gamma \], es porque esta fórmula es falsa en al menos un modelo de \[ \Gamma \].

Equipados con esto podemos entender mejor el fenómeno de la incompletitud. Se dice que una fórmula \[ \varphi \] es independiente de un sistema axiomático (\[ TG \], por ejemplo) si se tiene que \[ TG \not\vdash \varphi \] y \[ TG \not\vdash \neg \varphi \]. Es decir, es independiente del sistema axiomático si éste no es capaz de demostrarla ni refutarla. Por el teorema de completitud, tenemos una equivalencia de esto en la parte semántica: una fórmula es independiente de un sistema axiomático si hay modelos de los axiomas donde es verdadera y otros modelos donde es falsa. Ahora podemos probar que \[ TG \] es incompleto y dar un ejemplo de fórmula independiente de \[ TG \]: \[ \forall x \forall y (x\cdot y = y \cdot x) \]. Como hay grupos (= modelos de \[ TG \]) que son conmutativos y otros que no, esa fórmula no se puede demostrar ni refutar a partir de \[ TG \].

Hasta aquí los preliminares sobre lógica matemática, ahora vamos a la aritmética.

Las teorías aritméticas (básicamente, puedes pensar que teoría aritmética = sistema axiomático que pretende describir a los naturales) son un tanto especiales, porque en ellas hay un "modelo estándar", que es la interpretación natural en la que uno piensa cuando le dicen "números naturales". Es decir, el conjunto \[ \Bbb N = \{0,1,2, \dots\} \] con la operación de sucesor, suma y producto habituales. Puedes comprobar fácilmente que todos los axiomas de Peano (la lista de la Wikipedia que enlacé antes) son verdaderos en este modelo. Fíjate que esto está en contraste con \[ TG \], donde no hay un "modelo estándar", no hay un grupo más especial que otros, sino que estamos interesados en todos los grupos. En cambio, cuando hacemos teorías aritméticas sí estamos interesados únicamente en el modelo estándar (al menos de entrada).
Ahora puedes decir, pues bueno, nos montamos una teoría aritmética  cuyo único modelo sea el modelo estándar y ya está: todo lo que sea demostrable a partir de esos axiomas será verdadero en los naturales, y todo lo que sea verdadero en los naturales será demostrable en esa teoría.

El problema es que las cosas no son tan sencillas. Hagas lo que hagas y pongas los axiomas que pongas se te van a colar modelos raros. Esto es consecuencia de otro de los teoremas centrales de la lógica de primer orden: el teorema de compacidad. El teorema de compacidad dice que un conjunto de fórmulas (quizás infinito) \[ \Gamma \] tiene un modelo si y solo si cada subconjunto finito de \[ \Gamma \] tiene un modelo. Esto no deja de ser un reflejo del teorema de completitud de antes. La idea es que si \[ \Gamma \] no tiene ningún modelo, entonces por el teorema de completitud a partir de \[ \Gamma \] se puede demostrar una contradicción. Pero todas las demostraciones son finitas, y por tanto solo pueden usar un número finito de axiomas. Si \[ \Gamma_0 \] es el subconjunto finito que aparece en la demostración de una contradicción, entonces \[ \Gamma_0 \] es un subconjunto finito sin ningún modelo.
El teorema de compacidad al final implica que la lógica de primer orden no es muy buena captando las noción intuitiva de "infinitud", no es lo suficientemente expresiva.

Ahora puedes hacer lo siguiente. Sea \[ T \] una teoría aritmética, la que te dé la gana. Introduce un nuevo símbolo (una constante) en el lenguaje, \[ c \], que va a denotar un elemento de un modelo de \[ T \]. Fíjate que \[ \Bbb N \] es un modelo de \[ T \], por definición de teoría aritmética. Pero también lo es de \[ T \cup \{ c>0, c>1, c>2, \dots, c>N\} \] para cualquier \[ N \] natural, pues puedes tomar \[ c^{\Bbb N} = N+1 \]. Por el teorema de compacidad, tenemos que \[ T \cup \{ c > N \mid N \in \Bbb N\} \] tiene un modelo. Este es un modelo de \[ T \] en el que hay un elemento que es mayor que \[ 0 \], y mayor que \[ 1 \],... y mayor que \[ 10^{99999999} \], ... y mayor que cualquier "número natural". A esto se le llama un modelo no estándar de \[ \Bbb N \], es un modelo de \[ T \] pero no es el modelo natural, \[ \Bbb N \], que teníamos en mente al montar los axiomas.

En \[ PA \] todos los modelos no estándar contienen al modelo estándar \[ \Bbb N \] como un segmento inicial. Es decir, la estructura de un modelo no estándar de \[ PA \] es que es \[ \Bbb N \] y luego por encima de los naturales "de toda la vida" hay estos naturales "no estándar" raros.

Puede haber fórmulas verdaderas en el modelo estándar pero falsas en algún modelo no estándar. Un ejemplo de esto lo da el segundo teorema de incompletitud de Gödel. Hay una fórmula que intuitivamente expresa (interpretada en el modelo estándar) que "no se puede demostrar una contradicción", y que no es demostrable. Por tanto, hay un modelo (no estándar) donde esta fórmula es falsa.
Otro ejemplo curioso de fórmula independiente de \[ PA \], pero verdadera en el modelo estándar es la que expresa el teorema de Goodstein. Este teorema es famoso porque es demostrable en ZFC pero no en PA. Puedes leer sobre ello aquí.

Ya para acabar: cualquier fórmula de la forma \[ \forall x \varphi(x) \] donde \[ \varphi \] solo involucra cuantificadores acotados (es decir, cosas de la forma \[ \forall x \leq n \] o \[ \exists x \leq n \]), puede ser independiente de una teoría aritmética, pero si lo es entonces es verdadera en el modelo estándar. A este tipo de fórmulas se les llama fórmulas \[ \Pi_1 \]. Un ejemplo es la del segundo teorema de incompletitud (cuya fórmula es \[ \forall x (\neg Dem(x, \ulcorner 0 \neq 1 \urcorner)) \] (en palabras sencillas, "para todo \[ x \], \[ x \] no codifica una demostración de \[ 1 \neq 0 \]"), donde aquí \[ Dem(x,y) \] es una fórmula que solo involucra cuantificadores acotados.
Este tipo de fórmulas son verdaderas en el modelo estándar si son independientes de \[ PA \] (por ejemplo) básicamente por el argumento que diste. Dado un numeral \[ \bf n \] (un numeral es un conjunto de símbolos de la forma \[ SS...S0 \], con un número finito de \[ S \]'s, donde \[ S \] es un símbolo del lenguaje que quiere decir "siguiente"), puedes demostrar o refutar \[ \varphi({\bf n}) \] porque hacerlo involucra únicamente un número finito de comprobaciones, al no contener \[ \varphi \] cuantificadores no acotados. Pero entonces, si \[ \forall x \varphi(x) \] fuera falsa en el modelo estándar, como todos los números del modelo estándar (los naturales de toda la vida) están representados por un numeral \[ \bf n \], podrías encontrar un numeral \[ \bf n \] tal que \[ \neg \varphi({\bf n}) \] es demostrable, y por tanto \[ \neg \forall x \varphi(x) \] sería demostrable.

Pero en general puede darse perfectamente el caso de que sean demostrables \[ \varphi({\bf 0}), \varphi({\bf 1}), \varphi({\bf 2}), \dots \] y en general \[ \varphi({\bf n}) \] para cualquier numeral \[ \bf{n} \], pero que sin embargo \[ \forall x \varphi(x) \] no sea demostrable, porque en algún modelo no estándar hay algún número no estándar \[ c \] tal que \[ \varphi(c) \] es falsa ahí. El problema es que los números no estándar no son representables por ninguna cadena de símbolos del lenguaje (al contrario de los números estándar, que son representados por los numerales).

En fin, al final me he puesto a escribir y me ha salido la biblia aquí.  ;D Básicamente es un primer curso de lógica matemática condensado en uns pocos párrafos, pero espero que se entienda algo. Cualquier cosa que no se entienda o que te interese y quieras saber más, o si quieres detalles de alguna cosa, pregunta de nuevo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Diciembre, 2021, 02:37 pm
Respuesta #7

Granmurillo

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Yo, yo tengo una pregunta. Si decimos que el algoritmo de Collatz puede ser representado por una función que tiene una serie de elementos que llegan igualmente a 1 partiendo de algún número impar pero como la conjetura no está demostrada no podemos decir que siempre se llegará a 1 o que todas las órbitas están acotadas o que no hay una órbita infinita, podemos decir que dicha representación es un axioma???

17 Diciembre, 2021, 03:19 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Uy, no sé cómo había leído yo esto que llevo todo el hilo convencido de que se hablaba de la conjetura de Goldbach en vez de la de Collatz. Con Collatz la cosa no está tan clara, porque no está claro que sea equivalente a una fórmula \[ \Pi_1 \]. En principio, podría pasar que fuera indemostrable pero no fuera verdadera en el modelo estándar. Por ejemplo, podría pasar que existiera un número que condujera a una sucesión que nunca se repite, pero que no fuera posible demostrar en PA que nunca se repite.

Yo, yo tengo una pregunta. Si decimos que el algoritmo de Collatz puede ser representado por una función que tiene una serie de elementos que llegan igualmente a 1 partiendo de algún número impar pero como la conjetura no está demostrada no podemos decir que siempre se llegará a 1 o que todas las órbitas están acotadas o que no hay una órbita infinita, podemos decir que dicha representación es un axioma???

Para serte sincero, no entiendo nada de la pregunta. Lo siento.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Diciembre, 2021, 03:29 pm
Respuesta #9

Granmurillo

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El premio es para la demostración de la conjetura de Collatz.

Como para la Conjetura de Collatz se requieren demostrar 2 cosas:

1.- Que todas las órbitas se encuentren acotadas o sea que no existan órbitas infinitas, y
2.- Que no exista otro ciclo repetitivo además de 4, 2, 1.

Algunos autores a los que me he referido en otros hilos de este foro han presentado en sus artículos transformaciones del algoritmo en una función equivalente pero no utilizan más argumento que se trata de algo deductivo. ¿Eso sería un axioma entonces y válido para una demostración?