Hola
\( P(\color{blue}h\color{black}) \): \( a_{\color{red}h}\leq \color{\red} h \) para todo \( h\leq n \). ¿estaría ccorrecto así también?
Es:
\( P(\color{blue}n\color{black}) \): \( a_{\color{red}h}\leq \color{\red} h \) para todo \( h\leq n \). ¿estaría ccorrecto así también?
y el paso inductivo lo plantee: \( P(h+1): a_{\color{red}h+1}\leq{h+1} \) sabiendo que \( h\leq{k} \) y \( k\leq{n} \)
Y siguiendo tu linea, y esperando no "torcerla" como se que \( k\leq{n} \)
Ahí te estás liando.
Lo que tienes que hacer es probar \( P(n+1) \) suponiendo que \( P(n) \) es cierta.
Veo que tienes cierta manía de usar la \( h \) para el paso inductivo. No sé porqué; aunque el nombre de las variables es lo de menos, mientras no usemos el mismo nombre para variables distintas y eso nos confunda.
Pero:
\( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}}\leq \ldots \)
Termina...
\( a_{h+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^h{\displaystyle\frac{h+a_k}{h+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^h{\displaystyle\frac{h+k}{h+k+1}}\leq 1+\color{red}\displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}{\displaystyle\frac{(h+1)+k}{(h+1)+k+1}}\color{black} \)
Creo que hay algo que te está confundiendo. Lo que he marcado en rojo no viene a cuento.
En tu primer mensaje tenías un error que denota una confusión. Escribiste:
\( a_{h+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{\color{red}h+1\color{black}}{\displaystyle\frac{(h+1)+a_k}{(h+1)+k+1}} \)
Pero eso NO es la definición recursiva de \( a_{h+1} \) que te dan. Simplemente continuando con lo que escribí:
\( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n1=1+n \)
¡Y ya está!. Hemos usado que:
\( a_k\leq k \) por hipótesis inductiva \( P(n) \)
y
\( \displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}<1 \) por que \( n+k<n+k+1 \).
Saludos.
