Hola,
Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.
Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida
1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).
Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.
¿Debería comprobar que C es medible?
2) Si \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).
Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.
Un saludo.