Autor Tema: Demostrar grupo abeliano

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15 Abril, 2021, 06:35 pm
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Soofíaa

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En \( Z \) se define la operación "\( \oplus \)" de la manera siguiente: \( a \oplus b = a+b+1 \)

a) Demuestre que \( (Z, \oplus) \) es un grupo abeliano.

b) Determine \( a\ominus b \) según las operaciones de \( (Z, +) \) y a+b según las operaciones de \(  (Z, \oplus) \)


Buenos días, alguna ayudita para hacer la b)? la a) creo que la demostré sin mayor problemas con la definición de grupo abeliano, no obstante, la b) no me sale.

Gracias de antemano.


15 Abril, 2021, 08:00 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( Z \) se define la operación "\( \oplus \)" de la manera siguiente: \( a \oplus b = a+b+1 \)

a) Demuestre que \( (Z, \oplus) \) es un grupo abeliano.

b) Determine \( a\ominus b \) según las operaciones de \( (Z, +) \) y a+b según las operaciones de \(  (Z, \oplus) \)


Buenos días, alguna ayudita para hacer la b)? la a) creo que la demostré sin mayor problemas con la definición de grupo abeliano, no obstante, la b) no me sale.

Pues \( a\ominus b=x \) equivale a que \( a=x\oplus b \), es decir:

\( a=x+b+1\quad \Leftrightarrow{}\quad x=a-b-1 \)

Por tanto:  \( a\ominus b=a-b-1 \).
 
Por otra parte si \( a \oplus b = a+b+1 \), \( a\oplus b\oplus c=(a\oplus b)+c+1=a+b+c+2. \) Tomando \( c=-2 \):

\( a\oplus b\oplus (-2)=a+b \)

Saludos.

15 Abril, 2021, 10:38 pm
Respuesta #2

Soofíaa

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Muchas gracias nuevamente, de paso, si no sería mucho pedir, tiene alguna crítica constructiva de mi demostración de la a)?

\( (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c) \) Asociativa
\( (a\oplus b)\oplus c=(a+b+1)\oplus c=a+b+1+c+1 \)
\( a+b+1+c+1=(a+b+1)\oplus c=(a\oplus b)\oplus c \)
Luego,
\( a\oplus e=a \) con e neutro
\( a\oplus e=a+e+1=a => e=-1 \) Neutro
Para el inverso:
\( a\oplus a^{-1} = -1 \)

Gracias de antemano nuevamente, un saludo.

16 Abril, 2021, 09:15 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias nuevamente, de paso, si no sería mucho pedir, tiene alguna crítica constructiva de mi demostración de la a)?

\( (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c) \) Asociativa
\( (a\oplus b)\oplus c=(a+b+1)\oplus c=a+b+1+c+1 \)

Hasta aquí bien.

Pero luego debería de calcular \( a\oplus (b\oplus c) \) y ver que te da lo mismo:

\( a\oplus (b\oplus c)=a+(b\oplus c)+1=a+(b+c+1)+1=a+b+c+2 \)

Pero tu parece sin embargo que reincides otra vez en la expresión de \( (a\oplus b)\oplus c \):

Citar
\( a+b+1+c+1=(a+b+1)\oplus c=(a\oplus b)\oplus c \)

El neutro:

Citar
Luego,
\( a\oplus e=a \) con e neutro
\( a\oplus e=a+e+1=a => e=-1 \) Neutro

Está bien. Para el inverso:

Citar
Para el inverso:
\( a\oplus a^{-1} = -1 \)

Yo no le llamaría \( a^{-1} \), que hace referencia a un inverso multiplicativo. Además no terminas de hallar el inverso. Es decir para probar que \( a \) tiene inverso para la operación dada tienes que demostrar que existe un \( b \) tal que:

\( a\oplus b=-1 \)

Efectivamente:

\( a\oplus b=-1\quad \Leftrightarrow{}\quad a+b+1=-1\quad \Leftrightarrow{}\quad b=-2-a \)

Es decir:

\( \ominus a=-2-a \)

Saludos.