Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: JesusSaez en 02 Julio, 2022, 02:18 am

Título: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: JesusSaez en 02 Julio, 2022, 02:18 am


Demostrar que existe el menos una recta que es tangente a las gráficas de las funciones \( e^x \) y \( ln(x) \).

¿Se tendría que hacer con el Teorema del valor intermedio o solo con derivación?
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: sugata en 02 Julio, 2022, 02:33 am
Para que sea tangente a ambas, ambas deben coincidir en su derivada....
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: JesusSaez en 02 Julio, 2022, 02:44 am
¿se tendría entonces que mostrar que al menos coinciden en un punto las derivadas?
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: martiniano en 02 Julio, 2022, 12:15 pm
Hola.

¿Qué tal llevas la parte de encontrar la recta tangente a una función en un punto?

Si no me he equivocado en las cuentas recta tangente a \[ y=e^x \] en \[ x_1 \] es \[ y=e^{x_1}(1-x_1)+xe^{x_1} \]

Por otro lado, la recta tangente a \[ y=\ln x \] en \[ x_2>0 \] es \[ y=\ln x_2-1+x\cdot{\displaystyle\frac{1}{x_2}} \]

Para que ambas rectas coincidan deben coincidir sus pendientes y sus ordenadas en el origen. Es decir, se deben cumplir las dos siguientes ecuaciones:

\[ e^{x_1} (1-x_1)=\ln x_2-1 \]
\[ e^{x_1}=\displaystyle\frac{1}{x_2} \]

Se trata de demostrar que el anterior sistema tiene solución.

Un saludo.
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: JesusSaez en 02 Julio, 2022, 08:44 pm
Correcto, de hecho hasta ahí voy bien, en encontrar las ecuaciones de las tangentes.
Para demostrar que el sistema tiene solución, ¿el camino sería obtener el Jacobiano y usar el teorema de la función inversa?
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: Richard R Richard en 02 Julio, 2022, 11:33 pm


\( e^{x_1}=\dfrac{1}{x_2}\quad \to \quad  x_1=-\ln \,x_2 \)

reemplazando en

\( e^{x_1} (1-x_1)=\ln \,x_2-1 \)

\( \dfrac{1}{x_2}(1+\ln \,x_2)=\ln x_2-1 \)

resolviendo el cero de la función   con WA (https://www.wolframalpha.com/input?i=ln+x+-2*x%2F%28x-1%29%3D0&lang=es)


\( \dfrac{1}{x_2}(1+\ln \,x_2)-\ln \,x_2+1=0 \) o el de esta otra \( \ln x_2 -\dfrac{2x_2}{x_2-1}=0 \)

hay dos resultados

\( x2_{1} \cong 0.346424519891362... \)

\( x2_{2} \cong 9.38061977197128... \)

con que exista un resultado entonces existe al menos una tangente....Saludos
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: martiniano en 03 Julio, 2022, 12:22 am
Hola.

Para demostrar que el sistema tiene solución, ¿el camino sería obtener el Jacobiano y usar el teorema de la función inversa?

La verdad es que no acabo de ver cómo aplicar aquí el teorema de la función implícita para demostrar esto. Yo había pensado en algo parecido a lo que hace Richard. Tan sólo apuntar que se puede demostrar que existen soluciones de una ecuación sin necesidad de hallar explícita o numéricamente dichas soluciones.

Un saludo.
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: JesusSaez en 05 Julio, 2022, 03:09 am
No, pero yo decía el de la función inversa.
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: Richard R Richard en 05 Julio, 2022, 03:16 am
No, pero yo decía el de la función inversa.


Puedes citar de alguna fuente o copiar el enunciado de ese teorema, para ver si es aplicable.
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: JesusSaez en 05 Julio, 2022, 04:59 am
El teorema de la función inversa es el siguiente.
Sea \( A\subseteq \mathbb{R}^n \) un conjunto abierto y \( f:A\rightarrow \mathbb{R}^n \) una función clase \( C^1 \). Si \( x_0\in A \) y \( JF(x_0)\neq 0 \)(el jacobiano de \( f \)), entonces existe una vecindad \( U \) de \( x_0 \) y una vecindad \( V \) de \( f(x_0) \) tales que \( f(U)=V \) y la restricción \( g=f_{\mid U}:U\rightarrow V \) tiene una inversa \( g^{-1}:V\rightarrow U \) clase \( C^1 \). Además, para cada \( y\in W \) y \( x=f^{-1}(y) \) tenemos que \( Df^{-1}(y)=[Df(x)]^{-1} \).
Título: Re: Demostrar existencia de una recta tangente
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Julio, 2022, 09:57 am
Hola

El teorema de la función inversa es el siguiente.
Sea \( A\subseteq \mathbb{R}^n \) un conjunto abierto y \( f:A\rightarrow \mathbb{R}^n \) una función clase \( C^1 \). Si \( x_0\in A \) y \( JF(x_0)\neq 0 \)(el jacobiano de \( f \)), entonces existe una vecindad \( U \) de \( x_0 \) y una vecindad \( V \) de \( f(x_0) \) tales que \( f(U)=V \) y la restricción \( g=f_{\mid U}:U\rightarrow V \) tiene una inversa \( g^{-1}:V\rightarrow U \) clase \( C^1 \). Además, para cada \( y\in W \) y \( x=f^{-1}(y) \) tenemos que \( Df^{-1}(y)=[Df(x)]^{-1} \).

El teorema de la función inversa no te va a servir (normalmente) para decidir si una ecuación tiene solución; te sirve para trabajar con la solución en un entorno de un punto donde sabemos que hay solución, porque de hecho partimos de \( x_0 \) que sería la solución y a partir de ahí tenemos su imagen \( y=f(x_0) \). Determinar que existe la solución sería lo contrario; partir de un valor de \( y \) y poder afirmar que existe el \( x_0 \) tal que \( f(x_0)=y \).

Saludos.