Hola a todos,
quizás alguien me puede ayudar con alguno de estos problemas relativos a integrales impropias:
1) Estudiar la convergencia de dicha integral \( \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{dx}{(1-cos(x))^\alpha} \).
Nota: La función de dentro del integrando tiene un problema en el 0 y explota. Podríamos decir que es localmente integrable en el intervalo \( (0, \displaystyle\frac{\pi}{2}] \), me faltaría encontrar una función g, que cumpliera uno de los criterios de comparación de integrales impropias y que cumpliera que el límite de la división entre f y g fuera un número, no encuentro dicha función.
2)Sea \( f:[0,+\infty)\rightarrow{} \mathbb{R} \) una función localmente integrable tal que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}f(t)dt \) converge. Demostrar que si existe \( lim_{x\rightarrow{}\infty}f(x)=\alpha \in{\mathbb{}} \), entonces \( \alpha=0 \)
3)Sea \( f:[a,b)\rightarrow{} \mathbb{R} \) una función localmente integrable donde \( -\infty<a<b<+ \infty \). Demostrar que si f es acotada, entonces \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \) es convergente.
Gracias de antemano,
A.
