Hola, qué tal?
Pues estoy algo confundido al emplear la fórmula del Residuo en algunos ejercicios. A ver si me pueden ayudar por favor.
Sea \( f(z) \) una función que tiene un polo de orden \( n \) en \( z_0 \).
Entonces, para calcular el residuo en \( z_0 \), se dispone de la siguiente fórmula: \( Res(f,z_0)=b_1=\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}}[(z-z_0)^nf(z)] \) (*1*), \( f(z)=[\displaystyle\frac{b_n}{(z-z_0)^n}+\displaystyle\frac{b_{n-1}}{(z-z_0)^{n-1}}+......+\displaystyle\frac{b_2}{(z-z_0)^2}+\displaystyle\frac{b_1}{(z-z_0)}+\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k(z-z_0)^k}] \).
Sea \( g(z)=(z-z_0)^nf(z) \), \( g(z)=[b_n+b_{n-1}(z-z_0)+.....+b_2(z-z_0)^{n-2}+b_1(z-z_0)^{n-1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k(z-z_0)^{n+k}}] \)
Como \( g(z) \) tiene desarrollo de Taylor es analítica, y por el Teorema de Taylor el residuo se puede encontrar por \( b_1=\displaystyle\frac{g^{(n-1)}(z_0)}{(n-1)!} \) (*2*)
Pues no entiendo muy bien por qué \( Res(f,z_0)=b_1 \), no se puede obtener en (*1*) reemplazando directamente \( z_0 \) en la fórmula y sin embargo en (*2*) si se permite hacer.
Muchas Gracias