Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Si \( z_1,z_2 \) y \( z_3 \) son números complejos diferentes; tales que \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=2020 \); \( z_1+z_2+z_3=0 \), calcule el valor de \( z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1. \)
Primero podemos considerar el caso en el cual \( z_3=2020 \), entonces
\( \displaystyle{
z_1+z_2=-2020\iff \cos \alpha +\cos \beta ={\color{red}{-}}1\,\land\, \sin \alpha +\sin \beta =0\iff \alpha \equiv -\beta \,\land\, \cos \alpha ={\color{red}{-}}\frac12
\iff \alpha \equiv {\color{red}{2}}\pi/3\pmod{2\pi}
} \)
donde \( \alpha :=\arg(z_1) \) y \( \beta :=\arg(z_2) \), de donde obtenemos como soluciones posibles \( z_1=2020 e^{i{\color{red}{2}}\pi/3},\, z_2=2020 e^{-i{\color{red}{2}}\pi/3} \) y
\( \displaystyle{
z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=2020^2(1+e^{-i{\color{red}{2}}\pi/3}+e^{i{\color{red}{2}}\pi/3})=2020^2\cdot {\color{red}{0}}
} \)
El caso general se sigue aplicando rotaciones \( e^{i\gamma } \) arbitrarias a los puntos,
de donde deducimos que el valor siempre es cero.CORREGIDO.
