POR FAVOR, NO COMENTEIS EN ESTE POST. NO ES DE CARÁCTER PÚBLICO. GRACIAS.Tenemos la función: \( \displaystyle\frac{x^2}{25}+\displaystyle\frac{y^2}{9}=1 \) y nos piden las distancias mínimas y máximas de un punto \( P(x,y) \) perteneciente a la función desde el origen de coordenadas \( O(0,0) \).
Ya sabes que la distancia entre dos puntos es la verdadera magnitud del vector que los une. Así, el vector que une al punto P y a O es el \( \vec{OP}=\vec{P}-\vec{O} \) (usé abuso de notación para que se viera más claro). Y su verdadera magnitud (lo llamaré \( d \)) no es más que aplicar pitágoras: \( d=\sqrt[ ]{a^2+b^2} \), siendo \( a \) y \( b \) las coordenadas resultantes del vector.
Ahora bien, nos piden que hallemos la verdadera magnitud del vector que forma P con el origen de coordenadas. Eso es fácil, es simplemente \( d(x,y)=\sqrt[ ]{x^2+y^2} \).
Entonces, como \( x \) e \( y \) son dos puntos que pertenecen a la elipse que nos han definido podemos ver que vale \( y \) y sustuirlo en nuestra función distancia, para tener sólo una variable: \( x \).
Así, decimos que \( y^2=9(1-\displaystyle\frac{x^2}{25}) \). Y, si sustituimos tenemos que:
\( d(x)=\sqrt[ ]{x^2+9(1-\displaystyle\frac{x^2}{25})}=\sqrt[ ]{0.64x^2+9} \).
Ahora para saber cuáles son los máximos y los mínimos tenemos que estudiar su monotonía (puedes leer también
esta respuesta de otro usuario para evitar hacer derivadas), para ello derivamos:
\( d^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{0.64x}{\sqrt[ ]{0.64x^2+9}} \)
Si te fijas, esta función tiene un mínimo absoluto en \( x=0 \) y decrece desde \( ]-\infty,0[ \) y crece desde \( ]0,+\infty[ \).
De momento ya podemos decir que tenemos el mínimo porque, si sustituimos \( x=0 \) (que está en el dominio de la función de la elipse) en la función de la elipse tenemos dos puntos: \( A(0,3) \) y \( B(0,-3) \).
Ahora bien, tenemos que la distancia máxima de nuestra función está en los infinitos pero, ¿se extiende la elipse hasta el infinito? Es decir, ¿Cuál es su dominio?
Si estudias el dominio de la función verás que se mueve entre \( [-5,5] \), de aquí se obtiene que los puntos de máximos están en el \( x=\pm{5} \) y se obtienen los dos puntos restantes (que son máximos): \( C(-5,0) \) y \( D(5,0) \)
Puedes comprobarlo mirando la función:
Usé abuso de notación algunas ocasiones para que se viese más claro, pero no modifica en nada el ejercicio.
