Ejercicios/resumen del Basic Category Theory de Tom Leinester
Hola a todos,
Comienzo este hilo donde iré colocando una especie de "resumen" del libro
Basic Category Theory de
Tom Leinester y la solución a los ejercicios que vaya haciendo. En principio solo colocare las definiciones importantes y necesarias para realizar los ejercicios, aunque agregare ejemplos si estos se usan en algún ejercicio. Comenzare directamente en el capitulo 1, es decir, salteándome la introducción (y sus ejercicios). Utilizare la numeración del libro, así será mas fácil consultarlo para cualquiera que lea este hilo.
El libro lo pueden encontrar gratuitamente
aquí.
¡Cualquier tipo de ayuda o sugerencia es mas que bienvenida!
Espero que el hilo me motive a continuar mi lectura del libro y a ser constante, ya que leer libros de matemática es algo que me cuesta bastante
. Bueno, ¡Comenzamos!
1.1 Categorías
Definición 1.1.1: Una
categoría \( \mathscr{A} \) consiste en:
- una colección \( \text{ob}(\mathscr{A}) \) de objetos.
- para cada \( A,B\in \text{ob}(\mathscr{A}) \), una colección \( \mathscr{A}(A,B) \) de morfismos entre \( A \) y \( B \)
- para cada \( A,B,C\in \text{ob}(\mathscr{A}) \) una función:
\( \mathscr{A}(B,C)\times \mathscr{A}(A,B)\to \mathscr{A}(A,C) \)
\( (g,f)\mapsto g\circ f \)
llamada composicion.
- para cada \( A\in \text{ob}(\mathscr{A}) \) un elemento \( 1_A\in \mathscr{A}(A,A) \) llamado el morfismo identidad en \( A \)
y tales que cumplen:
- asociatividad: para cada \( f\in \mathscr{A}(A,B) \), \( g\in \mathscr{A}(B,C) \) y \( h\in \mathscr{A}(C,D) \) se tiene que \( (h\circ g) \circ f= h\circ (g \circ f) \)
- neutro: para cada \( f\in \mathscr{A}(A,B) \) tenemos que \( f\circ 1_A = f = 1_B \circ f \)
Notación/Observación 1.1.2: Escribimos:
- \( A\in \mathscr{A} \) para referirnos a \( A\in \text{ob}(\mathscr{A}) \)
- \( f:A\to B \) o \( A\xrightarrow{f} B \) para referirnos a \( f\in \mathscr{A}(A,B) \)
- \( gf \) para referirnos a \( g\circ f \)
Definición 1.1.4: Decimos que un mapa \( f:A\to B \) en una categoría \( \mathscr{A} \) es un
isomorfismo si existe un mapa \( g:B\to A \) tal que \( g\circ f=1_B \) y \( f\circ g=1_A \)
Construcción 1.1.4: Cada categoría \( \mathscr{A} \) tiene una categoría opuesta o
dual que notamos \( \mathscr{A}^{\text{op}} \), definida "dando vuelta las flechas".
Formalmente, tenemos que \( \text{ob}(\mathscr{A}^{\text{op}}):=\text{ob}(\mathscr{A}) \) y \( \mathscr{A}^{\text{op}}(B,A):=\mathscr{A}(A,B) \). Las identidades en \( \mathscr{A}^{\text{op}} \) son las mismas que en \( \mathscr{A} \) y la composición esta definida "al revés", es decir, dados mapas \( A\xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \) en \( \mathscr{A}^{\text{op}} \) tenemos que \( A\xleftarrow{f} B \xleftarrow{g} C \) son mapas en \( \mathscr{A} \) luego podemos construir el mapa \( A \xleftarrow{f\circ g} C \) en \( \mathscr{A} \), finalmente definimos la composición de \( f \) y \( g \) en \( \mathscr{A}^{\text{op}} \) es el mapa correspondiente a \( f\circ g \) en \( \mathscr{A}^{\text{op}} \)
Observación 1.1.10: El
principio de dualidad es un resultado fundamental en teoría de categorías, informalmente, este nos dice que toda definición, teorema y prueba de carácter categórico tiene una versión
dual que se obtiene "dando vuelta las flechas".
Invocar este principio nos puede ahorrar mucho trabajo, dado cualquier teorema, podemos obtener un teorema dual con su respectiva prueba dual "dando vuelta las flechas".
Construcción 1.1.11: Dadas dos categorías \( \mathscr{A} \) y \( \mathscr{B} \) podemos construir su
categoría producto \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \) en donde:
\( \text{ob}(\mathscr{A}\times \mathscr{B}):=\text{ob}(\mathscr{A})\times \text{ob}(\mathscr{B}) \)
\( \mathscr{A}\times \mathscr{B}((A,B),(A',B')):=\mathscr{A}(A,A')\times \mathscr{B}(B,B') \)
Dicho de otro modo:
- un objeto en la categoría producto \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \) es un par \( (A,B) \) donde \( A\in \mathscr{A} \) y \( B\in \mathscr{B} \).
- un mapa \( (A,B)\to (A',B') \) en \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \) es un par \( (f,g) \) donde \( A\xrightarrow{f} A' \) en \( \mathscr{A} \) y \( B \xrightarrow{g} B' \) en \( \mathscr{B} \)
Las definiciones las identidades y la composición en \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \) las veremos en el
Ejercicio 1.1.14Ejercicios de la sección 1.1
Ejercicio 1.1.12: Encontrar tres ejemplos de categorías que no hayan sido mencionadas previamente.
Solución ejercicio 1.1.12
No coloque ningún ejemplo del libro, pero pueden confiar en mi que los tres ejemplos de categorías que daré a continuación no aparecieron todavía en él
No hare las cuentas para verificar que son categorías, solo daré los ejemplos (los nombres son inventados).
- \( \mathbf{Met} \) cuyos objetos son espacios métricos y los morfismos son mapas continuos entre ellos.
- \( \mathbf{Man} \) cuyos objetos son variedades diferenciables y los morfismos son mapas \( C^\infty \) entre ellas.
- \( \mathbf{Hil} \) cuyos objetos son espacios de Hilbert y los morfismos son transformaciones lineales continuas entre estos.
Demostrar que un mapa en una categoría puede tener a lo sumo una inversa. Es decir, dado un mapa \( f:A\to B \), demostrar que existe a lo sumo un mapa \( g:B\to A \) tal que \( gf=1_A \) y \( fg=1_B \)
Solución ejercicio 1.1.13
Trabajemos en una categoría \( \mathscr{A} \) fija. Sea \( f:A\to B \) un mapa y supongamos que existen \( g,g':B\to A \) tales que satisfacen la condición, entonces:
\( g=g1_B=g(fg')=(gf)g'=1_Ag'=g' \)
como se quería probar.
Sean \( \mathscr{A} \) y \( \mathscr{B} \) categorías. En la
construcción 1.1.11 definimos la categoría producto \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \), excepto que las definiciones de las identidades y la composición no fueron dadas. Solo hay una manera razonable de hacerlo, escríbela.
Solución ejercicio 1.1.14
Comencemos definiendo las identidades, dado un objeto \( (A,B) \) de \( \mathscr{A}\times \mathscr{B} \) definimos \( 1_{(A,B)}:=(1_A,1_B) \).
La composición de dos mapas \( (f,g):(A,B)\to (A',B') \) y \( (h,k):(A',B')\to (A'',B'') \) la definimos como \( (h,k)\circ (f,g):=(h\circ f,k\circ g):(A,B)\to (A'',B'') \)
Comprobar que se verifican las propiedades de neutro y asociatividad es algo inmediato pues la composición es coordenada a coordenada:
\( (f,g)\circ ((h,k) \circ (n,m)) = (f,g)\circ ((h \circ n,k \circ m)) = (f\circ (h\circ n), g\circ (k\circ m))= ((f\circ h)\circ n, (g\circ k) \circ m) = \cdots = ((f,g)\circ (h,k) ) \circ (n,m) \)
\( 1_{(A,B)}\circ (f,g)=(1_A,1_B)\circ (f,g)=(1_A\circ f, 1_B\circ g)=(f,g) \)
la otra del neutro es análoga.
Hay una categoría \( \mathbf{Toph} \) cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos mapas \( X\to Y \) son clases de homotopía de mapas continuos de \( X \) en \( Y \).
¿Qué precisas saber acerca de homotopía para probar que \( \mathbf{Toph} \) es una categoría?
¿Qué significa, en términos puramente topológicos, que dos objetos de \( \mathbf{Toph} \) sean isomorfos?
Solución ejercicio 1.1.15
La manera "inmediata" de definir la composición (que se me ocurre a mí) debe ser \( [f]\circ [g]:=[f\circ g] \), luego lo que debemos saber sobre homotopía es que si \( f\sim h \) y \( g\sim k \) entonces \( f\circ g \sim h\circ k \).
Una vez tenemos esto, las propiedades de neutro y asociatividad se "heredan" de las funciones de conjuntos.
Si \( X \) e \( Y \) son dos objetos isomorfos, esto significa que existen clases de homotopía de funciones \( [f]:X\to Y \) y \( [g]:Y\to X \) tales que \( [f\circ g]=[1_X] \) y \( [g\circ f]=[1_Y] \). La verdad no se si tengo este tema de homotopía tan desarrollado como para saber que significa esto en términos "puramente topológicos"
Tal vez alguien pueda ayudar aquí.
