[noeliiagarciaa]

Si \( X \) e \( Y \) son numerables entonces \( X\cup Y \) es numerable.
¿Alguien sabe como hacer esto?
Gracias!

[argentinator]

En principio hay que tener en cuenta que hay elementos repetidos.

En una primera aproximación podrías probarlo bajo la hipótesis de que X é Y son disjuntos, y luego analizar qué pasa cuando hay elementos comunes a ambos conjuntos.

En tal caso, como el conjunto de naturales pares es biyectivo con N, y lo mismo ocurre con los naturales impares,
entonces X es biyectivo con el conjunto P de naturales pares,
e Y es biyectivo con el conjunto I de naturales impares.
Luego habría que "pegar" esas dos biyecciones en una nueva función f con dominio \(X\cup Y\), la cual resultará biyectiva con N.

[noeliiagarciaa]

No lo entiendo... no entiendo como empezar ni nada

[Luis Fuentes]

Hola

 Para empezar. Si \( X \) e \( Y \) son numerables tienes biyecciones:

\( f:\Bbb N\to X,\quad g:\Bbb N\to Y \)

 Puedes considerar la unión disjunta de los dos conjuntos:

\(  X\sqcup Y=X\times \{0\}\cup Y\times \{1\} \)

 Y si defines:

\(  h:\Bbb N\to X\sqcup Y \)

\(  h(n)=\begin{cases}(f(n/2),0) &\text{si }& n\text{ es par} \\(g((n-1)/2),1) & \text{si }&  n\text{ es impar}\end{cases} \)

Es decir con los pares enumeramos \( X \) y con los impares \( Y \). Es fácil ver que \( h \) es biyectiva y por tanto la unión disjunta es numerable.

Para la unión no necesariamente disjunta, puede verse que es un subconjunto infinito de la unión disjunta y por tanto numerable por ser subconjuto de numerable.

Saludos.