Para Ernesto.
Gráfica de \( f(x)=x^3e^x \)
Resolución esquemática. El dominio es claramente \( \mathbb{R} \) y no hay simetrías. Tenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\displaystyle\frac{x^3}{e^{-x}}} \) es indeterminación del tipo \( \displaystyle\frac{-\infty}{+\infty} \). Aplicando la regla de L'Hopital obtenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=0 \), luego \( y=0 \) es asíntota horizontal a la izquierda.
Tenemos \( f^\prime (x)=\ldots=x^2(x+3)e^x=0\Leftrightarrow{x=0\vee x=-3}. \) Analizando el signo de la derivada primera obtenemos mínimo local en \( (-3,-27/e^3). \)
Por otra parte, \( f^{\prime\prime}(x)=\ldots=x(x^2+6x+6)e^x=0\Leftrightarrow{}x=0\vee x=\displaystyle\frac{-6\pm \sqrt{12}}{2}=-3\pm \sqrt{3} \). Analizando el signo de la derivada segunda obtenemos que hay punto de inflexión en los tres casos. Claramente el único punto de corte con los ejes es \( (0,0). \)
Se puede ver
aquí su gráfica.
