Cuando dices: Caracterizar de manera categorial los anillos cociente significa caracterizar los objetos cociente de un anillo?
No, son cosas distintas. La cuestión en que en la categoría de anillos, objeto cociente \( \neq \) anillo cociente (con la definición de anillo cociente usual en álgebra).
Por definición un objeto cociente de \( A \) en una categoría \( \mathcal{C} \) es una clase de equivalencia de epimorfismos \( A \to B \) (donde identificas \( A \to B \) y \( A \to B' \) si hay un isomorfismo \( B \to B' \) que hace que el triángulo formado por los tres morfismos commute). Esta es la definición dual de subobjeto.
El problema es que en la categoría de anillos, por ejemplo el morfismo \( \Bbb Z \to \Bbb Q \) es un epimorfismo, luego \( \Bbb Q \) es un objeto cociente de \( \Bbb Z \).
En cambio, un anillo cociente de \( A \) es uno de la forma \( A/I \) con \( I \) un ideal. Esto es lo mismo que considerar (clases de equivalencia de) morfismos exhaustivos \( f:A \to B \), ya que por el primer teorema de isomorfía \( A/Ker(f) \cong B \), y todo cociente viene representado por la aplicación cociente (morfismo exhaustivo) \( A \to A/I \).
Por tanto, si quieres caracterizar de manera categorial los anillos cocientes, debes encontrar una caracterización de los morfismos de anillos exhaustivos. Eso es lo que te da la noción de epimorfismo efectivo.
Luego comentas que en la categoría de anillos, los homomorfismos sobreyectivos coinciden con los epimorfismos efectivos y ya con ese resultado se ha caracterizado los objetos cocientes de un anillo.
No, cuidado. Con ese resultado se han caracterizado los
anillos cocientes, no los
objetos cocientes. Para caracterizar los objetos cocientes, necesitas caracterizar los epimorfismos de anillos.
