Hola
Hola a todos. Estaba volviendo a revisar el concepto de continuidad de manera formal y me di cuenta que cuando quería hacer demostraciones basadas en continuidad todo lo hacía mecánico y ahora parece que no comprendo el porqué de lo que hacía. Me nacieron las siguientes preguntas:
1) ¿Por qué era válido tomar \( \delta <1 \) cuando se hacían demostraciones de continuidad si se supone que dicho \( \delta \) depende de \( \epsilon \)?
Fijado un \( \epsilon>1 \) se trata de encontrar un \( \delta>0 \) que nos garantice que si.
\( |x-x_0|<\delta \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \)
es decir "cuan cerca" tenemos que estar de \( x_0 \) para que la distancia entre las imágenes de \( x_0 \) y \( x \) sea menor que un valor fijado.
Fíjate que obviamente el delta no es único; es decir desde luego si en un caso concreto se cumple la condición para un \( \delta \) (pongamos \( \delta=10 \))
también se cumple para cualquier \( \delta \) más pequeño (pongamos \( \delta=5 \)), porque si \( |x-x_0|<5 \) con más razón \( |x-x_0|<10 \).
Para encontrar un \( \delta \) adecuado lo que se hace es acotar superiormente \( |f(x)-f(x_0)| \) por expresiones que dependan exclusivamente de \( |x-x_0| \) y así poder saber que exigencia poner a \( |x-x_0| \) para garantizar que \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).
Bien, contesto a tu pregunta ahora: 
Cuando acotamos \( |f(x)-f(x_0)| \) nos interesa acotar ciertos valores de \( x \) por valores fijos, y para ello tenemos en cuenta que al final la acotación se hará bajo la condición \( |x-x_0|<\delta \), que equivale a, \( x_0-\delta<\color{red}x<x_0+\delta\color{black} \).
Entonces podemos decir: todavía no se que valor de \( \delta \) me valdrá,
pero si puedo suponer que \( \delta<1 \) porque si la condición se cumpliese para un \( \delta \) mayor también se cumpliría para cualquiera más pequeño. Asumiendo eso, que \( \delta<1 \), nos permite asegurar que:
\( x_0-1<x<x_0+1 \)
(quien dice uno se puede suponer que \( \delta \) es menor que culquier valor que fijemos)
Y eso nos ayudará a acotar \( |f(x)-f(x_0)| \).
Como ejemplo si para la función \( f(x)=x^2 \) tomamos \( x_0=3 \) tenemos que:
\( |f(x)-f(x_0)|=|x^2-3^2|=|x-3||x+3| \)
Me gustaría acotar \( |x+3| \), entonces supongo que \( \delta<1 \) y entonces si \( |x-x_0|<\delta<1 \):
\( 3-1<x<3+1 \)
\( 5<x+3<7 \)
y entonces:
\( |f(x)-f(x_0)|=|x^2-3^2|=|x-3||x+3|<7|x-3| \)
Ahí vemos que si queremos que \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \) basta exigir que \( 7|x-3|<\epsilon \), es decir,
\( |x-3|<\epsilon/7 \)
Y ya tenemos un \( \delta \) válido. No olvidemos que la acotación funciona suponiendo que \( \delta<1 \) así que tomamos:
\( \delta=min(1,\epsilon/7) \)
2) ¿Cuál es intuición geométrica detrás de la continuidad uniforme?¿Por qué la negación es encontrar un \( \epsilon >0 \) tal que \( |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \)?¿Qué pasa si yo no puedo encontrar un \( \delta >0 \) tal que \( |x-y|<\delta \) y \( |f(x)-f(y)| < \epsilon \), aquí me refiero a que, para que los puntos estén a una distancia epsilon, el delta cada vez debe ser más grande.
La continuidad uniforme nos dice que si fijamos una distancia máxima entres las imágenes \( \epsilon \) podemos fijar una distancia \( \delta \) que nos garantice que cualquier par de puntos del dominio menos distancia de \( \delta \), estén donde estén, tienen imágenes distanciadas menos de \( \epsilon \).
La negación es que para un cierto \( \epsilon \) prefijado, podemos encontrar pares de puntos tan cercanos como queramos y que sus imágenes estén distanciadas MÁS de la distancia fijada \( \epsilon \); con lo cúál sería imposible encontrar ese \( \delta \) fijo que nos garantice que puntos a menos distancia de \( \delta \) tienen imágenes con la proximidad fijada.
La diferencia por tanto con la continuidad "simple", es que en la uniforme el \( \delta \) depende sólo del \( \epsilon \) y en la "simple", depende del \( \epsilon \) pero también del punto \( x_0 \).
Saludos.
CORREGIDO (gracias ani_pascual)
