Perfecto, muchas gracias. Creo que lo he entendido, pero un par de dudillas.
1. Tomamos el límite superior de las \( g_n \) porque no sabemos si podemos asegurar que el límite tal cual existe? O hay otra razón?
Correcto, el límite de una sucesión de números reales no tiene por qué existir, pero el límite superior (e inferior) siempre existe (aunque pueda ser infinito). Como las sucesiones en este caso son no-negativas entonces \( \lim_{n\to \infty }g_n(x)=0 \) si y solo si \( \limsup_{n\to\infty}g_n(x)=0 \), por tanto negando esto último estamos diciendo que \( g_n(x) \) no converge a cero.
2. Creo que la demostración finalizaría así, pero no estoy seguro. Lo expongo:
Tenemos que \( \mu(B)) >0 \), lo que implica que la función limitante de las \( g_n \) verificaría que no es cero en un conjunto de medida estrictamente positiva. No obstante, como la convergencia de la serie de las \( \lVert g_n \rVert_p \) implica que \( \lim_n \lVert g_n \rVert_p \), dado que la norma es un operador lipschitz podemos enchufar el límite dentro y por tanto \( \lVert \lim_n g_n \rVert_p =0. \)
No sigo muy bien tu argumento, pero no, en principio no puedes pasar el límite al interior de la norma, aunque la norma sea una función continua, porque la expresión \( \lim_{n\to \infty }g_n \) no tiene sentido.
Añadido: el tema es que la convergencia puntual no está definida en la topología dada por la norma, por tanto el único significado que se le puede dar a una expresión como \( \lim_{n\to \infty }g_n \) es el límite en norma, no algún otro tipo de límite.
Además debo añadir que la implicación \( \lim_{n\to \infty }f(x_n)=c\implies f(\lim_{n\to \infty }x_n)=c \) es falsa para funciones continuas \( f \) entre espacios topológicos ya que la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) no tiene por qué poseer un límite. La implicación que sí se cumple es \( \lim_{n\to \infty }x_n=x\implies \lim_{n\to \infty }f(x_n)=f(x) \).
Como la aplicación es una norma, \( \lVert \lim_n g_n \rVert_p = 0 \) si y solo si \( \lim_n g_n=0 \) salvo en un conjunto de medida nula. No obstante, como el conjunto \( B \) tiene medida positiva tenemos una contradicción y con eso queda finalizada la prueba.
¿Es correcto?
No sería correcto por lo dicho antes. La idea de demostración anterior que escribí se puede utilizar para una demostración por contradicción o por contraposición, quizá la última forma sea más clara y directa. Es decir, si te piden demostrar que
\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}\|g_n\|_p<0\implies g_n\to 0\text{ c.t.p. }
} \)
entonces eso es equivalente a demostrar que
\( \displaystyle{
g_n\text{ no converge a cero c.t.p. }\implies \sum_{n\geqslant 1}\|g_n\|=\infty
} \)
SOLUCIÓN BOSQUEJADA
La proposición "\( g_n \) no converge a cero casi en todas partes" es equivalente a decir que \( \mu(A)>0 \) con el conjunto \( A \) definido en mi anterior respuesta. Como \( \mu(A)>0 \) entonces (aunque no lo he demostrado habría que mostrar por qué) existe un conjunto \( B \) como el de mi anterior respuesta con medida positiva, por tanto existe una subsucesión \( \{g_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) tal que \( \lim_{k\to \infty }\|g_{n_k}\|_p=\epsilon \), de donde se puede deducir que \( \|g_{n_k}\|_p\geqslant \|\mathbf{1}_{B}g_{n_k}\|_p\geqslant \tfrac1{2}\epsilon [\mu(B)]^{1/p} \) para \( k \) suficientemente grande (para el caso de \( p<\infty \), y otra cosa parecida para \( p=\infty \)) y por tanto \( \sum_{n\geqslant 1}\|g_n\|_p=\infty \).∎
