[zimbawe]

Hola a todos, espero se encuentren\displaystyle\int_{a}^{b} muy bien.
Tengo el siguiente problema con el que estoy atascado. He tenido ideas pero ninguna con éxito.
Debo probar que si \(  f  \) es una función continúa, creciente y que toma valores no negativos entonces
\(   \int_{0}^{1} xf(x) \geq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x)  \).
Se me ocurrió usar la serie de Taylor, pero no tuve éxito. Se que si pruebo que dado \(  0 \leq a \leq \frac{1}{2}  \) se da la siguiente desigualdad
\(  af(a)-1/2f(a)+(a+1/2)f(a+1/2)-1/2f(a+1/2) \geq 0  \) ya lo tendría, pero no hay una forma de hacerlo directamente desde las integrales?
Quedo atento a cualquier sugerencia. Mil gracias.

[zimbawe]

Se me ocurrió lo siguiente. Si \(  0 \leq x \leq \frac{1}{2}  \) tenemos que:

\(  xf(x)-\frac{1}{2}f(x)+(1-x)f(1-x)-\frac{1}{2}f(1-x)=f(x)(x-\frac{1}{2})+f(1-x)(1/2-x) \geq f(x)(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x)=0  \)

Con lo que \(  xf(x)+(1-x)f(1-x)>\frac{1}{2}(f(x)+f(1-x))  \)

Por lo tanto

\(  \int_{0}^{\frac{1}{2}} xf(x)+(1-x)f(1-x)dx \geq \int_{0}^{1/2}\frac{1}{2} (f(x)+f(1-x)) dx \)

O lo que es lo mismo

\(  \int_{0}^{1} xf(x) dx \geq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x)dx  \)

¿Está bien mi solución?
Muchísimas gracias.