Buenas a todos,
El ejercicio dice lo siguiente:
Sea \( (X,\mathcal{M},\mu) \) un espacio de medida. Se define \( \overline{\mathcal{M}} \) como la siguiente familia de subconjuntos de \( X \):
\( \overline{\mathcal{M}}:=\{A\cup Z: A\in \mathcal{M} \text{ y } Z\subset F \text{ para cierto } F\in \mathcal{M} \text{ con } \mu(F)=0\} \)
Se define \( \overline{\mu}:\overline{\mathcal{M}}\to [0,\infty] \) como \( \overline{\mu}(A\cup Z)=\mu(A) \)
(1) Probar que \( \overline{\mathcal{M}} \) es una \( \sigma \)-algebra y \( \overline{\mu} \) una medida (en particular, esta bien definida).
(2) Probar que \( \overline{\mu} \) es completa ,es decir, si \( E\in \overline{\mathcal{M}} \) tiene medida \( 0 \) entonces todos los subconjuntos de \( E \) están en \( \overline{\mathcal{M}} \)
(3) Mostrar que \( \overline{\mathcal{M}} \) es la menor \( \sigma \)-algebra para la cual se puede extender \( \mu \) a una medida completa.
(4) Dar un ejemplo en el que \( \mu \) se puede extender a una \( \sigma \)-algebra aun mayor.
Mi intento:
Con el apartado
(1) no tuve problemas, solo me genera un poco de confusion la frase "en particular, esta bien definida" ¿a que se puede referir?
Ahora para el apartado
(2), si \( \overline{\mu}(A\cup Z)=0 \) entonces \( \mu(A)=0 \) entonces observando que para cualquier \( E\subset (A\cup Z) \) se tiene \( E\subset (A\cup F) \) y que \( \mu(A\cup F)=0 \) concluimos que todos los subconjuntos de \( A\cup Z \) están en \( \overline{\mathcal{M}} \) (porque en la definición tomamos \( A=\emptyset \) y \( Z \) un subconjunto cualquiera).
Para el apartado
(3), si \( \mathcal{A} \) es otra \( \sigma \)-algebra a la cual \( \mu \) se extiende como una medida completa, queremos ver que \( \overline{\mathcal{M}}\subset \mathcal{A} \).
Es claro que \( \mathcal{M}\subset \mathcal{A} \) pues estamos
extendiendo la medida.
Ahora, dado \( A\cup Z \in \overline{\mathcal{M}} \) como \( \mu(F)=0 \) todos los subconjuntos de \( F \) tienen que estar en \( \mathcal{A} \), en particular \( Z \). Luego como \( \mathcal{A} \) es \( \sigma \)-algebra se tiene que \( A\cup Z\in \mathcal{A} \) y tenemos la inclusión buscada.
¿Es correcto hasta aquí? No se me ocurre ningún ejemplo para el apartado
(4), ¿me podrían dar alguna idea?
Agrego: Se me ocurrió un ejemplo para el
(4), consideramos \( (\mathbb{R},\mathcal{B}_\mathbb{R},\#) \) donde \( \# \) es la medida de conteo. Ahora, la completación de su \( \sigma \)-algebra es nuevamente la \( \sigma \)-algebra de Borel pues el único conjunto que mide \( 0 \) es el vacío y la medida queda igual. En este caso podemos extenderla a \( \mathcal{P}(\mathbb{R}) \). ¿Es correcto?
Saludos,
Franco.
