Buenas a todos,
El enunciado dice lo siguiente:
Probar que si \( F \) es de variación acotada en \( [a,b] \) entonces:
(1) \( \displaystyle\int_{a}^{b} |F'(x)|dm(x) \leq T_F(a,b) \)
(2) \( \displaystyle\int_{a}^{b} |F'(x)|dm(x) = T_F(a,b) \) si y solo si \( F \) es absolutamente continua.
donde \( \displaystyle T_F(a,b)=\sup_{t_0=a<t_1<\cdots<t_n=b} \sum_{j=1}^n |F(t_j)-F(t_{j-1})| \), donde el supremo se toma en las particiones de \( [a,b] \).
Para la primera parte tengo lo siguiente:
Si \( F \) es de variación acotada entonces \( F \) es derivable c.t.p, por lo tanto, si definimos \( G_n(x)=\dfrac{F(x+1/n)-F(1/n)}{1/n} \) (hacemos valer \( 0 \) a \( F \) fuera de \( [a,b] \)) tenemos que \( G_n(x)\to F(x) \) c.t.p. Luego por el lema de Fatou:
\( \displaystyle \int_{a}^{b}|F'(x)|dm(x)=\int_{a}^{b} \lim_{n \to{+}\infty} |G_n(x)|dm(x) \leq \liminf_{n \to{+}\infty} \int_{a}^{b} |G_n(x)| dm(x) = \liminf_{n \to{+}\infty} \int_{a}^{b} n|F(x+1/n)-F(1/n)|dm(x) \)
\( \displaystyle \liminf_{n \to{+}\infty} \int_{a}^{b} n|F(x+1/n)-F(1/n)|dm(x) \leq \liminf_{n \to{+}\infty} n\int_{a}^{b} |F(x+1/n)|dm(x) -n\int_{a}^{b} |F(1/n)|dm(x) \)
Y aquí ya no se como continuar, no se si este sea el camino correcto. Tampoco he podido avanzar con el apartado
(2). ¿Alguna idea?
Saludos,
Franco.
