Este es un tema recurrente en este foro sobre el que se ha hablado extensamente. No me quiero meter en discusiones sobre esto, pero creo que es importante para josanagui dejar clara una cosa.
En el análisis matemático ortodoxo actual, es decir, tal como lo hacen los matemáticos, no existen ni los infinitésimos ni las diferenciales \( dx \), salvo en el contexto que ya ha mencionado Masacroso de geometría diferencial, donde tienen un significado muy preciso, pero que no tiene nada que ver con números infinitamente pequeños ni nada parecido. Desde el punto de vista ortodoxo, la respuesta de Masacroso es impecable.
Ahora bien, los físicos y los ingenieros usan infinitésimos y diferenciales a menudo, de una manera un tanto informal. Otro tema es si se pueden dar justificaciones totalmente rigurosas al uso que hacen, en lo que no voy a entrar.
En cualquier caso, rigurosamente hablando, esto:
Por \( dx \) (me refiero al dx que aparece por ejemplo al final de una integral) entiendo que es un número infinitamente pequeño pero que no llega a ser cero, aunque claro, esta es una definición muy poco formal.
es un sinsentido: no existe ningún número real que sea "infinitamente pequeño" (¿qué quiere decir eso?) y no sea cero. La única forma que conozco de dar sentido riguroso a esto, son los hiperreales y cosas parecidas, pero no creo que sea muy bueno meterse en esos jaleos.
En resumen: para los matemáticos actuales, no hay ni diferenciales ni infinitésimos, aunque físicos e ingenieros los usen contínuamente de forma "informal".