\( \displaystyle \frac{\cos(2a)}{1\cdot 3}+\frac{\cos(4a)}{3\cdot 5}+\frac{\cos(6a)}{5\cdot 7}+\cdots \cdots \)
Tenemos que hallar la función cuya serie de Fourier sea ésa.
- Vemos que es periódica de período \( \pi \)
- Sabemos de antemano que denominadores del tipo \( \dfrac{1}{mk^2-n^2} \) lo generan funciones trigonométricas.
- Calculamos entonces la SF de \( g(\theta)= a+b \sin \theta \) en el intervalo \( [0,\pi] \)
No incluyo un término \( c \cos \theta \) pues generaría términos en senos (y solo tenemos cosenos)
\( \mathscr{F}(g(\theta))= a + \frac{2b}{\pi} - \frac{4b}{\pi}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\cos(2k)}{4k^2-1} \)
\( \;\;\Longrightarrow\;\;b=\frac{-\pi}{4}\quad,\quad a=\frac{1}{2} \)
\( \therefore\quad \frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\sin\theta \) en \( [0,\pi] \)