[Gonzo]

Entonces ?

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque dices que:

Partes de la igualdad:

\( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)

y muestras que es imposible que \( t \) y \( B \) sean coprimos. Eso es obvio...

Entonces t y B tienen un factor comun para que  exista la tercera potencia. Y obviamente tendra un factor comun con t o/y B.

¡Pero vuelves a lo mismo!.

Si partimos de la igualdad \( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)... ¡claro qué se deduce que \( t \) y \( B \) tienen un factor común!.

Pero eso no es la conjetura de Beal. Lo qué ésta pretende probar es esto (y me autocito):

Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos

\( P^x+Q^t=R^z \)

con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores \( P,Q,R \) tienen un divisor común. Y esto ha de demostarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).

Saludos.

[feriva]

Hola, Gonzo. Si es que además la forma de atacar un problema de esta dificultad no es ésa, tienes que intentar demostrar casos particulares o pequeñas cosas que puedan estar relacionadas.

Por ejemplo, parte de esta desigualdad:

\( a+b \neq c \)

donde “a,b,c” son primos distintos.

Intenta demostrar que no es posible transformar esa desigualdad en una igualdad elevando los elementos de la terna “a,b,c” a distintas potencias mayores que 2.

Hay algo que se demuestra rápido: la suma de dos impares es un par, por lo que alguno de esos números, al ser distintos, tiene que ser 2 si se quiere llegar a una igualdad (porque la potencia de un par es otro par y análogamente con los impares).

Entonces intenta demostrar que con esto (siendo “a,c” primos)

\( a+2 \neq c \)

no se puede llegar a una igualdad por medio de elevar los elementos a distintas potencias mayores que 2.

Visto de otra manera, el problema es éste: dos primos pueden sumar otro primo, por ejemplo, 17+2=19 y así con muchos primos gemelos; y son coprimos por ser primos, evidentemente, no tienen un factor común. Entonces, cómo podemos asegurar que, por ejemplo, no se puede transformar esto \( 13+2 \neq 23 \) en una igualdad mediante la potenciación de esos números (es un ejemplo cualquiera entre los infinitos que hay, sería demostrarlo en general, pero puedes empezar por algunos casos particulares para observar cosas).

De entrada, por las condiciones, en el ejemplo no hay factores comunes, así que no intentes que los haya, porque son primos, no los hay por definición; lo que se pide es demostrar que no es posible llegar a la igualdad potenciando los números, no que si no fueran primos pasaría no sé qué.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sea la siguiente expresión:
\(  2^7+17^3=71^2 \). Recordemos que \(  A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2}  \). Entonces \(  2^7+17^3=71^2 \) por lo tanto \(  (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1 \) [1]. Ahora recordemos que \(  17^3=16*17*18+17  \) entonces \(  17^3=16*(17*18+1)+1  \). [2]. Si intentamos obtener la expresión [2] de [1]. Partimos de la expresión [1] \(  16*(17(18+((2*3+2)/17))+1)+1 \). Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 2 y 17 no comparten factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Ahora consideramos las potencias de este tipo \(  11^3+37^3=228^2 \). Entonces \(  10*11*12+11+36*37*38+37 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \( 12*(10*11+1+3*37*38+3) \) [3]. Ahora recordemos que \(  12^3=11*12*13+12=12*(11*13+1) \) [4]. Si intentamos obtener la expresión [4] de [3]. Partimos de la expresión [3] \(  12(10*11+1+3*37*38+3) \). Igualamos [3]. y [4].  \(  12*(10*11+1+3*37*38+3)=12*(11*13+1)  \). Simplificamos \(  (10*11+1+3*37*38+3)=(11*13+1)  \) entonces \(  11*(10+(3*37*38+3)/11)+1=11*13+1  \) Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 11 y 37 no comparten factor común \( \ldots(3*37*38+3)/11)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Este razonamiento expresado de forma genérica, ¿demostraría la conjetura de Beal en el caso de que la tercera potencia sea dos?

[Luis Fuentes]

Hola

Sea la siguiente expresión:
\(  2^7+17^3=71^2 \). Recordemos que \(  A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2}  \). Entonces \(  2^7+17^3=71^2 \) por lo tanto \(  (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1 \) [1]. Ahora recordemos que \(  17^3=16*17*18+17  \) entonces \(  17^3=16*(17*18+1)+1  \). [2]. Si intentamos obtener la expresión [2] de [1]. Partimos de la expresión [1] \(  16*(17(18+((2*3+2)/17))+1)+1 \). Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 2 y 17 no comparten factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Ahora consideramos las potencias de este tipo \(  11^3+37^3=228^2 \). Entonces \(  10*11*12+11+36*37*38+37 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \( 12*(10*11+1+3*37*38+3) \) [3]. Ahora recordemos que \(  12^3=11*12*13+12=12*(11*13+1) \) [4]. Si intentamos obtener la expresión [4] de [3]. Partimos de la expresión [3] \(  12(10*11+1+3*37*38+3) \). Igualamos [3]. y [4].  \(  12*(10*11+1+3*37*38+3)=12*(11*13+1)  \). Simplificamos \(  (10*11+1+3*37*38+3)=(11*13+1)  \) entonces \(  11*(10+(3*37*38+3)/11)+1=11*13+1  \) Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 11 y 37 no comparten factor común \( \ldots(3*37*38+3)/11)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Este razonamiento expresado de forma genérica, ¿demostraría la conjetura de Beal en el caso de que la tercera potencia sea dos?

Pero antes de nada y lo más importante. ¿Qué sentido tienes que diga que eso puede demostrar la conjetuda de Beal en el caso de qué la tercera potencia sea dos, si precisamente la conjetura de Beal se refiere a los casos en los que la tercera potencia NO es dos?.

Además cuando hablas de "obtener [2] de [1]". Eso es una vaguedad. Las expresiones que pones con número concreto son las que son; no sé que se entiende de manera objetiva por obtener una de otra.

Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Saludos.

[Gonzo]

¿Qué sentido tienes que diga que eso puede demostrar la conjetuda de Beal en el caso de qué la tercera potencia sea dos, si precisamente la conjetura de Beal se refiere a los casos en los que la tercera potencia NO es dos?.

Intento demostrar que con dos bases primas, ambas con exponentes mayores que dos, la tercera base solo puede alcanzar ser potencia de dos. Porque si no hay un factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \)en las dos bases iníciales el resultado de esta división no será nunca un número entero y por lo tanto no obtendremos una potencia mayor que dos.
La conjetura de Fermat Catalan señala que existen un número finito de estas expresiones donde las tres bases son primas y solo existe un exponente menor que tres. Siendo los demás mayores que dos. Por lo tanto hay pocas expresiones de este tipo. Y posiblemente son las expresiones que más se acercan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal.

Además cuando hablas de "obtener [2] de [1]". Eso es una vaguedad. Las expresiones que pones con número concreto son las que son; no sé que se entiende de manera objetiva por obtener una de otra

.

\(  2^7+17^3=71^2 \); \(  (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \); \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1 \). Es lógico pensar que si la suma de ambas potencias alcanzara ser potencia con un exponente mayor que dos esta deberá ser. \(  17^n  \). Ya que \(  17^3=16*17*18+17  \); \(  17^3=16*(17*18+1)+1  \). El problema es lo que esta dentro del paréntesis que mientras que ambas bases no compartan un factor común nunca alcanzará ser un número entero. Esto es \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \).


Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Ejemplos de este tipo, existen pero pocos \(  2^7+17^3=71^2  \). \(  112^3+57^3=1261^2 \). \(  1064^3+305^3=35113^2  \). Más o menos podríamos aplicar la misma sistemática para intentar ilustrar que en este caso, dos potencias con bases primas con exponentes mayores que dos, su resultado nunca alcanzara ser un potencia mayor que dos.

[Luis Fuentes]

Hola

Intento demostrar que con dos bases primas, ambas con exponentes mayores que dos, la tercera base solo puede alcanzar ser potencia de dos. Porque si no hay un factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \)en las dos bases iníciales el resultado de esta división no será nunca un número entero y por lo tanto no obtendremos una potencia mayor que dos.

Entonces directamente intentas probar la conjetura de Beal, sin tapujos.

\(  2^7+17^3=71^2 \); \(  (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \); \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1 \). Es lógico pensar que si la suma de ambas potencias alcanzara ser potencia con un exponente mayor que dos esta deberá ser. \(  17^n  \). Ya que \(  17^3=16*17*18+17  \); \(  17^3=16*(17*18+1)+1  \). El problema es lo que esta dentro del paréntesis que mientras que ambas bases no compartan un factor común nunca alcanzará ser un número entero. Esto es \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \).

No hay ninguna idea ahí que vea que se pueda generalizar; tan siquiera me cuesta ver un atisbo de argumento ahí.  Simplemente dices que arreglando las cuentas como a ti te parece no llegas a una potencia mayor que dos si no hay factores comunes; pero no das ninguna razón objetiva para que sea cierta. En el ejemplo concreto, la razón obvia es que de hecho no da una potencia mayor que dos de un número entero, pero nada más.

Si crees que estoy equivocado, muestra claramente ese argumento general. Me temo que sigues dándole vueltas a las ideas que ya has expuesto a lo largo del hilo.

Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Ejemplos de este tipo, existen pero pocos \(  2^7+17^3=71^2  \). \(  112^3+57^3=1261^2 \). \(  1064^3+305^3=35113^2  \). Más o menos podríamos aplicar la misma sistemática para intentar ilustrar que en este caso, dos potencias con bases primas con exponentes mayores que dos, su resultado nunca alcanzara ser un potencia mayor que dos.

Vuelvo a lo mismo; si crees que hay alguna "sistemática", algo generalizable en tus ideas; expón como se haría. Pero relee todo el hilo y los comentarios que te ido haciendo para no repetir errores. En general cuando dices que "se llega a la conclusión..." no hay ninguna relación entre la conclusión que afirmas y tu exposición previa.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.
 Recordemos \( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [1]  \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) [2] y \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2}  \) [3].


A continuación voy sugerir basandome en las expresiones conocidas que más se ajustan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal. Claro está que todas ellas con un exponente de grado 2.

\( 2^{7} + 17^{3} = 71^{2} \). Dichos números responden [1]. Es decir podemos obtener un factor común de las dos primeras potencias de la forma \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1  \). Para que dicha expresión alcanzará [2] entonces implicaría que esta última tendria que ser \(  16*(17*18+1)  \). En el caso hipotético que hubiera un contraejemplo el factor común de las dos potencias sería C en este caso 16. Es decir la base de la tercera potencia. Si partimos que las dos potencias iníciales son primos relativos, entonces al obtener el factor común se debería extender a todos los  números de la ecuación [2]. Es decir \(  16*(17*18+1)  \). Pero dicha estructura no se puede obtener con dos bases primas. Porque la ecuación que obtenemos es \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1  \). Por lo tanto el 2*3+2 y el 1 lo impiden. ¿Qué creis?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.
 Recordemos \( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [1]  \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) [2] y \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2}  \) [3].


A continuación voy sugerir basandome en las expresiones conocidas que más se ajustan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal. Claro está que todas ellas con un exponente de grado 2.

\( 2^{7} + 17^{3} = 71^{2} \). Dichos números responden [1]. Es decir podemos obtener un factor común de las dos primeras potencias de la forma \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1  \). Para que dicha expresión alcanzará [2] entonces implicaría que esta última tendria que ser \(  16*(17*18+1)  \). En el caso hipotético que hubiera un contraejemplo el factor común de las dos potencias sería C en este caso 16. Es decir la base de la tercera potencia. Si partimos que las dos potencias iníciales son primos relativos, entonces al obtener el factor común se debería extender a todos los  números de la ecuación [2]. Es decir \(  16*(17*18+1)  \). Pero dicha estructura no se puede obtener con dos bases primas. Porque la ecuación que obtenemos es \(  16*(2*3+2+17*18+1)+1  \). Por lo tanto el 2*3+2 y el 1 lo impiden. ¿Qué creis?

Yo no tengo nada más que decir sobre el tema; sigues dando vueltas a lo mismo, sigues con vaguedades. Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general y por tanto no veo que se saque nada en limpio de ellas. Las objecciones que ido exponiendo siguen siendo aplicables.

Suerte.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.
“Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general”. El_manco dígame usted un ejemplo (potencia) que no cumpla con la ecuación [1], [2] y [3].

Supongamos que A, B, C, D y E son números enteros y que 2A+1 es un número impar y que 2A es un número par. (x, y, x mayor o igual que 3).
En consecuencia:
\(  (2A+1)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; 2D \neq{} 2E+1  \). Las tres bases no pueden ser impares.
Si las tres bases son pares, hay un factor común conforme señala la Conjetura de Beal.
\(  (2A)^x+(2B+1)^y = (2C)^z; 2D+1 \neq{} 2E  \). Tampoco es posible dos bases pares y una impar.
\(  (2A)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; 2D+1 = 2E+1  \). Si que es posible dos bases impares y una par.
Por lo tanto señalamos que si hubiera un contraejemplo este contendría dos bases impares y una par.

Después de observar los ejemplos que más se acercan a un posible contraejemplo de la Conjetura, los clasifico en dos tipos.

Tipo 1.

\(  2^7+17^3=71^2; 112^3+57^3=1261^2; 1064^3+305^3=35113^2; 43^8+96222^3=30042907^2  \).
Es decir que siguen la siguiente sistemática.
Sea A, B, C, D, E números enteros. Y x,y iguales o mayores que 3 y z=2.
\( (2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2} \);

\(  2*D+1= 2*E+1  \). Observemos que dicha expresión nunca alcanzará la ecuación [2] y [3].

Tipo 2.

 \(  11^3+37^3=228^2; 17^7+76271^3=21063928^2; 781^3+4019^3=255720^2; 3^5+11^4=122^2  \).
Siguen la siguiente sistemática.
Sean A, B (estos dos impares), C (par), x, y, z (estos tres mayores o iguales que 3), m y n. Números enteros. Entonces:
Cn = (A+1) y Cm = (B-1); A=(Cn-1) y B= (Cm+1).
Recordemos [1], [2] y [3]. Por lo tanto.
\(  A^x = (Cn-1)^x = (Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2})  \);
\(  B^y = (Cm+1)^y = (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2})  \);
\(  C^z = (C)^z = (C-1) ((C)^{z-2})((C+1)+ ((C)^{z-2})  \) [4];

Vamos a suponer que existe un contraejemplo y vamos a intentar encontrarlo (con el patrón de valores conocidos).

\(  A^x + B^y = C^z  \);
\(  ((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2}) + (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2});  \);
\(  C(((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2))+n[ ]+m[ ]  \);
Y aquí llegamos a la contradicción.
Si sacamos un factor común de [4]. \(  ((C)^{z-2}) ((C-1) (C+1)+ 1)  \) [4].

\(  (((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)) \neq{} ((C-1) (C+1)  \)
\(  n[ ]+m[ ] \neq{} 1  \).