Hola
Tenemos:
\( w(x)=\begin{cases} w_1(x)=0.2-\dfrac{0.2(x-0.4)^2}{0.4^2} & \text{si}& 0\leq x\leq 0.4\\w_2(x)=0.2+\dfrac{(1-0.2)(x-0.4)^2}{(1-0.4)^2} & \text{si}& 0.4\leq x\leq 1\end{cases} \)
Consideramos:
\( h(z)=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z]\}=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z/2]\} \)
Queremos hallar el máximo interavalo de subaditividad \( [0,k] \) y sabemos que corresponde a:
\( k=inf\{z|h(z)<0\} \)
Dado que en \( [0,4] \), la función \( w(x) \) es cóncava es claro que ahí la función es subaditiva; por tanto nos preocupamos de que ocurre para \( z\geq 0.4 \).
En particular si \( z\in [0.4,0.8] \) se tiene que:
\( w(w)+w(z-x)-w(z)=\begin{cases} w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z) & \text{si}& x\in [0,z-0.4]\\w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z) & \text{si}& x\in [z-0.4,z/2]\end{cases} \)
Donde:
\( w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z) =\dfrac{5}{36}x(20+7x-32z) \)
Puede verse que esa función, cuando \( x \) recorre \( [0,z-0.4] \) alcanza el mínimo en:
- si \( z\leq \dfrac{5}{8} \) en \( x=0 \) y en ese caso tal mínimo es \( 0 \).
- si \( z>\dfrac{5}{8} \) en \( x=\dfrac{2}{7}(8z-5) \) y en ese caso tal mínimo es \( -\dfrac{5}{63}(5-8z)^2 \).
Por otra parte:
\( w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z) =\dfrac{-5}{36}\left(18 x^2-18 x z+(2-5 z)^2\right) \)
y esa función cuando \( x \) recorre \( [z-0.4,z/2] \) alcanza el mínimo en \( x=z-0.4 \). Como en ese punto \( w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z) \) y \( w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z) \) coinciden el valor del mínimo es mayor que el mínimo obtenido en el tramo anterior.
Es decir la conclusión es que si \( z\in [0.4,0.8] \):
\( h(z)=\begin{cases} 0 & \text{si}& z\in [0,5/8]\\-\dfrac{5}{63}(5-8z)^2 & \text{si}& x\in [5/8,0.8]\end{cases} \)
Dado que buscamos el ínfimo de los \( z \) donde \( h \) es negativo y ya en el tramo \( [0.4,0.8] \) hemos encontrado valores negativos, no nos interesa lo que pase en \( [0.8,1]. \)
En definitiva:
\( k=inf\{z|h(z)<0\}=\dfrac{5}{8} \)
Saludos.
