Autor Tema: Contenencia de imagen directa de una función

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30 Junio, 2019, 01:08 am
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EduardoA

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¡Hola a todos!

Estuve tratando de demostrar que \( f(P - Q) \subseteq f(P) - f(Q) \), sabiendo que \( f: A \longrightarrow B \) es una función y que \( P, Q \subseteq A \). Tengo la sospecha de que dicha afirmación es falsa, esto debido al "mal comportamiento" de la imagen directa de una función. Me gustaría saber si alguno detecta un error en la siguiente demostración:

Sea \( x \in f(P - Q) \), esto es, \( z = f(d) \), para algún \( d \in P - Q \). Esto último es equivalente a tener \( z = f(d) \) para algún \( d \in P \) y \( z \neq f(d) \) para todo \( d \in Q \). Por consiguiente, \( z \in f(P) \) y \( z \notin Q \), o de forma equivalente \( z \in f(P) - f(Q) \), lo que se quería probar.

Estaré atento para aclarar algún punto específico de lo previamente escrito. En verdad agradezco sus comentarios y sus correcciones.

Saludos desde Colombia.

30 Junio, 2019, 05:34 am
Respuesta #1

geómetracat

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Tu intuición es buena, lo que pretendes probar es falso. Toma por ejemplo \( f: \Bbb R \rightarrow \Bbb R \) definida por \( f(x)=0 \) para todo \( x \) (una función constante), \( P = \Bbb R \) y \( Q = \{0\} \). Entonces \( f(P)=f(Q) = \{0\} \) y \( f(P) - f(Q) = \emptyset \), mientras que \( f(P - Q) = f(\Bbb R - \{0\}) = \{0\} \).

El fallo en tu "demostración" es que de \( z=f(d) \) para algún \( d \in P - Q \) no se puede deducir que \( z \neq f(y) \) para todo \( y \in Q \). De hecho, si piensas en el contraejemplo que te he dado verás que esto falla.
Ahora bien, tu demostración sería correcta si pides que \( f \) sea inyectiva.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)