Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos

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14 Octubre, 2011, 06:59 pm
Respuesta #50

argentinator

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Mmmmm... Según parece, hay diferencias muy importantes entre NBG y MK.

Más allá de mi torpeza, le voy a echar la culpa al mismo Ivorra, porque él da a entender que son más o menos lo mismo, y que las diferencias son mínimas.
Por ejemplo, en vez de introducir NBG en un breve artículo de él, se limita a decir que, en vez de eso, mejor introduce MK, que es más sencillo.

Ahí está dando la idea de que son cosas bastante "sustituibles" entre sí.

Pero estas diferencias que estás explicando van en contra de lo que uno intuiría en caso de que la sustitución de uno por otro fuera tan fácil.

En cuanto a lo que dijiste sobre el Teorema de Godel,
imagino que se trata de una sentencia G en particular, y no en general, porque a MK le afecta también el Teorema de Godel, y en él también hay sentencias indecidibles.

Por otro lado, olvidando eso, el Teorema del que estás hablando diría que, usando el formalismo de MK, es posible demostrar la consistencia de ZFC y NBG.

Otra vez, si la "distancia" entre MK y NBG es tan corta, como sugiere Ivorra, un Teorema como éste destruye la intuición del asunto. Las diferencias son muy sutiles, pero parecer que eso alcanza para lograr cosas que a mí me parecen sorprendentes.

¿Dónde puedo leer la demostración de ese Teorema?


14 Octubre, 2011, 09:02 pm
Respuesta #51

Carlos Ivorra

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Mmmmm... Según parece, hay diferencias muy importantes entre NBG y MK.

Así es.

Más allá de mi torpeza, le voy a echar la culpa al mismo Ivorra, porque él da a entender que son más o menos lo mismo, y que las diferencias son mínimas.
Por ejemplo, en vez de introducir NBG en un breve artículo de él, se limita a decir que, en vez de eso, mejor introduce MK, que es más sencillo.

Ahí está dando la idea de que son cosas bastante "sustituibles" entre sí.

Pero estas diferencias que estás explicando van en contra de lo que uno intuiría en caso de que la sustitución de uno por otro fuera tan fácil.

No son sustituibles en absoluto. Lo único positivo que se puede decir en favor de la sustitución (que no es que sea mucho, pero es lo único) es que muchos matemáticos no tienen reparos en trabajar en ZFC más axiomas que postulan la existencia de los llamados cardinales grandes. Por ejemplo, si suponemos que existe lo que se llama un cardinal medible, entonces la medida de Lebesgue se puede extender a todos los subconjuntos de \( \mathbb{R} \). Sucede que suponer la consistencia de MK es una hipótesis mucho más débil que suponer la consistencia de que exista un cardinal medible en ZFC. Así que, para alguien habituado a tales axiomas, la consistencia de MK es una minucia.

En cuanto a lo que dijiste sobre el Teorema de Godel,
imagino que se trata de una sentencia G en particular, y no en general, porque a MK le afecta también el Teorema de Godel, y en él también hay sentencias indecidibles.

Sí, claro. Me refiero a la sentencia que construye el teorema de Gödel para la teoría axiomática ZFC, y cuyo significado equivale a la consistencia de ZFC.

Por otro lado, olvidando eso, el Teorema del que estás hablando diría que, usando el formalismo de MK, es posible demostrar la consistencia de ZFC y NBG.

Exacto.

Otra vez, si la "distancia" entre MK y NBG es tan corta, como sugiere Ivorra, un Teorema como éste destruye la intuición del asunto. Las diferencias son muy sutiles, pero parecer que eso alcanza para lograr cosas que a mí me parecen sorprendentes.

¿Dónde puedo leer la demostración de ese Teorema?

Pues lo he visto enunciado en muchos sitios, pero la única demostración que he encontrado es precisamente la que aparece en el libro de Ivorra (el de lógica) en la sección 10.6.

En el teorema 10:10 define un subconjunto de \( \mathbb{N} \) en MK mediante una fórmula en la que aparece un cuantificador \( \exists I \) en el que \( I \) es una clase propia. Eso puede hacerse en MK, pero no en NBG.

14 Octubre, 2011, 09:11 pm
Respuesta #52

argentinator

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Bueno, diría que este tema está casi cerrado, salvo por el detalle del producto cartesiano...

Quedaría para un futuro proyecto estudiar la construcción del lenguaje de primer orden, e ir paso a paso, como hace Ivorra, para construir estas teorías.

Una de las cosas que me impiden hacer esto son los reparos filosóficos que tengo sobre la metamatemática, que en otra parte hemos discutido.
Pero se puede hacer igual, después de todo es lo estándar, y no está de más poner los detalles en evidencia para después "atacarlos".

Es mejor así, me parece.

Porque si no, pasa otra vez esto de que las discusiones "se van por los aires".

Gracias de nuevo, y saludos.

14 Octubre, 2011, 09:22 pm
Respuesta #53

Carlos Ivorra

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Bueno, diría que este tema está casi cerrado, salvo por el detalle del producto cartesiano...

Como te dije, no sé a qué te refieres exactamente. Si me das más detalles podría decirte algo.

Quedaría para un futuro proyecto estudiar la construcción del lenguaje de primer orden, e ir paso a paso, como hace Ivorra, para construir estas teorías.

Una de las cosas que me impiden hacer esto son los reparos filosóficos que tengo sobre la metamatemática, que en otra parte hemos discutido.
Pero se puede hacer igual, después de todo es lo estándar, y no está de más poner los detalles en evidencia para después "atacarlos".

Eso es muy sensato.

Es mejor así, me parece.

Porque si no, pasa otra vez esto de que las discusiones "se van por los aires".

Gracias de nuevo, y saludos.

Si puedo ayudarte en cualquier cosa sobre la exposición de la lógica de primer orden (revisando lo que escribas, o aclarándote cualquier duda), no dudes en decirlo.