Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Abril, 2010, 01:38 am
Respuesta #30

LauLuna

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 545
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias, Argentinator. Yo también me alegro de estar con vosotros.

Comprendo tu desasosiego por las limitaciones de los formalismos. Pero ten en cuenta también el maravilloso universo que esas limitaciones abren a la creatividad humana:

"siempre que un conjunto de conocimiento matemático esté rigurosamente objetivado (es decir, como un sistema formal) es posible aprovechar esa objetivación para definir verdades matemáticas que no están en el conocimiento objetivado."

Naturalmente, se trata de las oraciones indecidibles de Gödel.

Esto es semejante a lo que sucede con las multiplicidades que no son conjuntos, por ejemplo la multiplicidad de todos los conjuntos:

"siempre que un conjunto C de conjuntos esté bien definido podemos aprovechar esa definición para definir conjuntos que no están en C"

Por ejemplo: el conjunto R de todos los conjuntos de C que no son elementos de sí mismos. Si R estuviera en C, sería elemento de sí mismo syss si no lo fuera.

Son técnicas de "diagonalización" que dan lugar a una "extensibilidad indefinida".

¿Qué sugiere todo esto? Que la capacidad de nuestra razón para crear objetos matemáticos no puede encerrarse en un objeto matemático. Nuestra creatividad navegará siempre por mar abierto.

¿No te gusta estar rodeado de horizontes inalcanzables?

01 Abril, 2010, 04:48 am
Respuesta #31

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Por un lado sí que me gusta que los horizontes no sean "estrechos" y que la mente humana pueda navegar en aguas ilimitadas, aún en el aparentemente rígido campo de la razón.

Pero la matemática necesita, al parecer, ser la más exacta de las ciencias, porque ese es su propósito, dar rigor, solidez, ser un marco científico fiable, sin ambigüedades.

Que la realidad sea ilimitada en su complejidad, es ciertamente aceptable, pero que la razón misma de la mente humana sea parte del problema, es perturbador.

Pareciera ser que, o bien la razón no alcanza para comprenderlo todo, o bien lo que entendemos por "razón" adolece de defectos que no sabemos corregir.

La matemática debiera alcanzar en algún punto alguna solidez de algún tipo, algo que nos permita al menos "navegar sin temor". Aceptar quizá que hay nuevos y grandes desafíos, pero no quedarnos sin una base sólida en qué apoyarnos.

Como sea, tengo la sensación (y digo "sensación" porque no sé escribirlo como un Teorema, tal como Godel era capaz de hacer) de que estos desafíos propios de la razón humana van más allá de lo que una máquina puede procesar.
He leído por ahí que tras los límites de la lógica y los lenguajes formales anda rondando el problema de complejidad computacional P = NP.

Cuando la gente piensa en inteligencia artificial, piensa en lógica difusa, o bases de datos...
A mí me parece que la frontera entre la inteligencia humana y la artificial está justamente en estas cuestiones que involucran la recursividad, los números naturales, los Axiomas mismos de los números. Lo que parece ser una puerta abierta a la "razón humana", me parece a mí que es una "puerta cerrada" a la capacidad de una computadora.

A lo mejor con la teoría de máquinas de Turing estas cosas puedan decirse con más precisión.
Es un tema que aún debo estudiar.  :-[

Saludos

01 Abril, 2010, 04:56 am
Respuesta #32

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Citar
me parece a mí que es una "puerta cerrada" a la capacidad de una computadora.

O sea, creo que estoy pensando en que una máquina no es capaz de "diagonalizar", o algo por el estilo.

01 Abril, 2010, 08:27 pm
Respuesta #33

Jabato

  • Visitante
Me gusta la idea esa de que nuestra creatividad navega siempre en mar abierto. Es cierto que los esquemas matemáticos del pensamiento son a veces demasiado rígidos, y no dudo de que no deban serlo, si no estaríamos perdidos probablemente, pero probablemente tambien se pueda ver como un vicio de los matemáticos el pensar que todo puede reducirse a pensamiento lógico - deductivo estrictamente racional. Los horizontes siempre son infinitos y nuestra mente debería tener libertad para poder explorarlos. No todo es número, también hay letras.

Saludos, Jabato. ;D

03 Abril, 2010, 02:37 am
Respuesta #34

LauLuna

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 545
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
O sea, creo que estoy pensando en que una máquina no es capaz de "diagonalizar", o algo por el estilo.

Bien, sin duda una máquina de Turing (un algoritmo, vamos) no puede diagonalizar 'todo el camino', es decir, siempre se puede en principio ir más allá de ella.

Los estadios de diagonalización o de extensibilidad tienen exactamente la forma de los ordinales conjuntistas. Estos ordinales son la expresión más simple de la extensibilidad de la razón humana. Por el teorema de Church-Kleene sabemos que no hay algoritmo capaz de generar todos los ordinales constructivos (o recursivos), que son aquellos que se pueden alcanzar mediante un sistema recursivo de notación que les da nombres uno a uno desde abajo. Todo ordinal constructivo se puede alcanzar así aunque no hay ningún sistema de notación que los alcance a todos.

Por tanto, ningún algoritmo genera todos los ordinales constructivos, aunque se puede ir tan lejos como se quiera mediante una cadena de algoritmos a lo largo de los ordinales constructivos. El primer ordinal no constructivo se llama omega_1^CK, por Church-Kleene.

Es el primer ordinal que no es recursivamente (algorítmicamente) enumerable, aunque es enumerable en el sentido clásico: existe una biyección entre él y N pero no una biyección que pueda construirse paso a paso siguiendo una receta.

Parece claro que la razón humana puede ir más allá de omega_1^CK porque puede empezar a construir ordinales siguiendo algún sistema recursivo, luego otro, luego otro, y luego referirse al conjunto de todos los sistemas recursivos de notación para pasar al límite y definir omega_1^CK y después sumar 1, etc. etc. El concepto de sistema recursivo de notación está  bien definido, se puede definir unívocamente echando mano del cálculo lambda de Church o de las máquinas de Turing.

Está claro que podemos ir más allá (diagonalizando) de cuanto podamos bien-definir. Jamás encontraremos un 'non plus ultra'. Por eso no existe el conjunto de todos los objetos que la razón humana puede producir. La capacidad productiva de la razón humana no puede presentársenos como un objeto bien definido porque, si pudiera, podríamos ir más allá de ella usando precisamente la capacidad productiva de la razón humana. Algunos sugieren que ZFC contiene tioda la matemática que la razón humana puede producir, de ahí que desesperen de demostrar su consistencia. Pero se equivocan: podemos definir conjuntos que ZFC no puede definir; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos definibles en el lenguaje de ZFC que no se pertenecen a sí mismos.
 
En contraste, el conjunto de todos los algoritmos está bien definido; siendo infinito numerable, es sin embargo finito en el sentido de que está dado de una vez por todas. La capacidad productiva de la razón humana es infinita en ese sentido. Es lo que Cantor llamaba el infinito absoluto, lo que nunca puede estar totalmente dado a la vez.

Como Colón y los Reyes Católicos, Cantor dijo 'plus ultra', siguiendo el espíritu fáustico del Occidente moderno, que Colón había inaugurado.

Un saludo

08 Octubre, 2011, 12:56 am
Respuesta #35

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Hola, Argentinator.

Rastreándote por curiosidad he llegado hasta aquí. He leído varios de tus hilos sobre números y axiomas y me han gustado mucho. Pero tengo algunas observaciones que tal vez te interesen.

La primera es muy tonta. No entiendo esto:

Con esto en mente, yo pondría ahora usar el Axioma de Formación de Clases junto con el Axioma de Extensión, para enunciar que dos clases son iguales, escribiendo algo como:
\( A=\{a:\phi(a)\},B=\{b:\phi(b)\}\Longrightarrow{A= B} \).

Lo he leído varias veces y no sé qué quieres decir. Y como el resto está tan clarito y bien explicado, pues te lo comento a ver qué opinas tú.

Ésta es un poco más importante:

Cuando el dominio de la función no es un conjunto, la función tampoco es un conjunto, o sea, ella y su dominio son clases propias. En ese caso, según lo que he interpretado del libro de Ivorra, la función no sería ''necesariamente'' una subclase del producto cartesiano de las clases dominio y rango.
Me refiero a que el producto cartesiano toma una forma más trivial, que no sirve para expresar bien a la función.

Esto es falso. Si tienes una función \( F: A\longrightarrow B \) y \( A \) no es un conjunto (luego \( F \) tampoco), no deja de ser cierto que el producto \( A\times B \) es la clase de todos los pares ordenados con primera componente en \( A \) y segunda en \( B \) y \( F\subset A\times B \).

Esto es mucho más grave:

Como se explica en Ivorra, a partir de NBG uno puede obtener el sistema MK que es más simple de enunciar.
Sin embargo, antes de eso hace falta demostrar que algunos de los Axiomas de MK son, en efecto, Teoremas en el sistema NBG.
El más importante de ellos quizá sea el siguiente:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría NBG.  Existe la clase \( Z \) de todos los \( x \) tal que \( x \) es un conjunto y \( \phi (x) \) es verdadera. Dicha clase se denota: \( Z=\{x:\phi (x)\} \).

Recordemos que esta propiedad es un Axioma en la teoría MK.

Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Ambas teorías NBG y MK han de conducir a "objetos" equivalentes, vale decir, son teorías intercambiables, y las clases que existen en una, existen también en la otra, y viceversa. Así que conviene usar el formato de MK, que es más simple en varios aspectos.

Notemos que los Axiomas se listan en un formato más similar a ZFC que a MK, sin embargo.
Esto es así, porque en la etapa de enunciación de Axiomas, aún no se tiene la Propiedad de Formación de Clases, ni como Axioma ni como Teorema.
Es justamente a partir de la enunciación de esa propiedad que el cálculo de clases se hace más cómodo, y es por eso que MK se simplifica de entrada.

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.

El teorema de formación de clases, tal y como lo enuncias, NO es un teorema de NBG. Sólo se puede demostrar una versión restringida en la que a la fórmula \( \phi \) se le exige que no tenga cuantificadores que afecten a clases propias. Este tecnicismo es crucial, y hace que en MK (donde no hay tal restricción) se puedan demostrar teoremas sobre conjuntos que no son demostrables en NBG. En particular es falso que a partir de NBG se pueda obtener MK, y también es falso que las clases que existen en MK existan en NBG.

La diferencia más espectacular es que en MK se puede demostrar la existencia de modelos de ZFC, mientras que en NBG es imposible. Eso mismo está demostrado en el libro de Ivorra que citas. Ivorra no hace las afirmaciones que le atribuyes (o eso creo, al menos).

Otra diferencia es que NBG es finitamente axiomatizable (obviamente), mientras que se puede demostrar que MK no lo es.

Más aún, el hecho de que en MK se pueda demostrar la consistencia de ZCF, la cual es equivalente a la de NBG, implica, a través de los teoremas de incompletitud e Gödel, que, aunque supongamos la consistencia de ZCF o NBG, a partir de ahí no podemos probar la consistencia de MK.

Sigo leyendo y si encuentro algo más te lo digo.

Saludos.

08 Octubre, 2011, 06:53 am
Respuesta #36

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Hola Donald.

Te agradezco las correcciones.
No te prometo que las revise pronto, pero ciertamente me preocupa, y trataré de corregirlas lo antes posible.

En cuanto al primer comentario que me hiciste, creo que sólo tiene que ver con la discusión de la comodidad de usar "llaves" {...} para hablar indistintamente tanto de clases como conjuntos, que para un matemático que trabaja lejos de la lógica es algo más intuitivo.

A mí personalmente me llevó mucho tiempo tomarle cariño a los Axiomas de Zermelo Fraenkel, sólo por esta razón de que la formalización tiene un aspecto algo áspero, y no se puede pensar en clases, sino que las fórmulas que no tienen la variable restringida a un conjunto... no se pueden pensar como "clases de nada".

Después me amigué con Zermelo y Fraenkel cuando me pareció que permiten introducir en forma más sencilla la Teoría de Conjuntos que, por ejemplo, NGB.

-------------------

Lo demás, lo dejo pendiente de revisión, y por supuesto son bienvenidas más correcciones.

En todo caso, el sistema NGB lo nombré porque estaba en la terna nombrada por Ivorra, figurando entre los más estandarizados sistemas que introducen la Teoría de Conjuntos.
Pero lo cierto es que no tenía muchas ganas de estudiarlo a fondo, y lo puse para "llenar el hueco" tan solo.

Es comprensible que haya errores, mas aún así tendré que corregirlos.

Me preocupa que haya errores en los otros dos sistemas ZFC y Mk, que son a los que más adhiero. Al MK es al que le hice propaganda para usar en caso de que uno sea más amigo de usar "clases" que "sólo conjuntos" como en ZFC.

Saludos

08 Octubre, 2011, 07:34 am
Respuesta #37

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Donald: Estuve pensando que, como probablemente yo no tenga tiempo para corregir lo que me indicaste de NGB, te agradecería que vos mismo sugieras qué texto tendría que ir ahí, qué sacar o qué poner.

Entonces yo sólo lo revisaría a ver si estoy de acuerdo, y lo copio.

(Haré figurar tu nick, no te voy a robar autoría, jeje).

Después de todo, lo importante de este thread es que quede una referencia fija y fiable para los usuarios del foro sobre la definición de cada teoría de conjuntos estándar. No importa si soy yo o no quien la escriba.

Saludos

09 Octubre, 2011, 12:12 am
Respuesta #38

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Esta lista tiene una apariencia diferente a ZFC y MK.

Como se explica en Ivorra, a partir de NBG uno puede obtener el sistema MK que es más simple de enunciar.
Sin embargo, antes de eso hace falta demostrar que algunos de los Axiomas de MK son, en efecto, Teoremas en el sistema NBG.
El más importante de ellos quizá sea el siguiente:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría NBG.  Existe la clase \( Z \) de todos los \( x \) tal que \( x \) es un conjunto y \( \phi (x) \) es verdadera. Dicha clase se denota: \( Z=\{x:\phi (x)\} \).

Recordemos que esta propiedad es un Axioma en la teoría MK.

Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Ambas teorías NBG y MK han de conducir a "objetos" equivalentes, vale decir, son teorías intercambiables, y las clases que existen en una, existen también en la otra, y viceversa. Así que conviene usar el formato de MK, que es más simple en varios aspectos.

Notemos que los Axiomas se listan en un formato más similar a ZFC que a MK, sin embargo.
Esto es así, porque en la etapa de enunciación de Axiomas, aún no se tiene la Propiedad de Formación de Clases, ni como Axioma ni como Teorema.
Es justamente a partir de la enunciación de esa propiedad que el cálculo de clases se hace más cómodo, y es por eso que MK se simplifica de entrada.

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.

Posible corrección:

Esta lista tiene una apariencia diferente a ZFC y MK.

Como se explica en Ivorra, a partir de NBG uno puede obtener un sistema muy similar (aunque no equivalente) a MK

Concretamente, lo que sucede es que en NBG se puede demostrar el siguiente:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad primitiva \( \phi (x) \) aplicable a objetos \( x \) de la teoría NBG.  Existe la clase \( Z \) de todos los \( x \) tal que \( x \) es un conjunto y \( \phi (x) \) es verdadera. Dicha clase se denota: \( Z=\{x:\phi (x)\} \).

Recordemos que la teoría MK tiene como Axioma una propiedad casi igual a ésta, pero la diferencia radica en que aquí exigimos que la propiedad sea primitiva. ¿Qué significa esto? Que en ella no pueden aparecer cuantificadores "para todo" y existe" más que en la forma "para todo conjunto" y "existe un conjunto", es decir, restringidos conjuntos y sin poder recorrer clases cualesquiera.

Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Pese a su parecido con MK, la teoría NBG no es equivalente a ella, sino a ZFC y la diferencia en la Propiedad de Formación de Clases es precisamente lo que hay que quitarle a  MK para que resulte equivalente a  ZFC. La equivalencia consiste en que se puede demostrar que toda afirmación que haga referencia únicamente a conjuntos (sin mencionar clases propias) puede demostrarse en  ZFC si y sólo si puede demostrarse en  NBG, mientras que existen afirmaciones sobre conjuntos (sobre números naturales, incluso) que pueden demostrarse en  MK y, por el contrario, no pueden probarse en  NBG (supuesto que sea consistente).

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.

09 Octubre, 2011, 02:47 am
Respuesta #39

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,346
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Creí que había dejado claro que en MK y en NGB los cuantificadores se refieren a conjuntos y no a clases.

A lo mejor no se vio claro.
Hay un lugar en donde aclaro que las mayúsculas se usan para "abreviar" sentencias que involucran conjuntos. O sea, llevan esos axiomas en forma implícita una sentencia adicional que dice "x es un conjunto" y...
No está de más aclararlo de nuevo.

Ya revisaré lo demás.

En lo posible, en futuras correcciones sería mejor que cites mi texto, tal como hiciste, que le pongas un "tachado" a lo que no te gusta (con [s]xxxx[/s] y agregues con otro color tus correcciones).

Así no tengo que rastrear en qué parte están los cambios que hiciste.

Si esto se te vuelve muy engorroso, entonces dejalo, no importa.