Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos

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15 Agosto, 2009, 04:51 am
Respuesta #20

Jabato

  • Visitante
Si, creo que te entiendo, aunque creo que las propiedades se pueden establecer como relaciones entre elementos. La lógica de primer nivel emplea símbolos que permiten establecer esas relaciones, la pertenencia, la inclusión y la igualdad entre ellas.

Cuando decimos que \( A = B \) estamos dando una propiedad de A ý de B. Lógicamente los elementos son A y B. Análogamente si decimos:

\( a \in{B} \)       ó bien      \( A\subset{B} \)

ocurre algo parecido. No veo la dificultad en establecer las propiedades en esa forma, y por otra parte nada nos obliga a considerar que los elementos no puedan ser a su vez conjuntos, clases ó incluso una propiedad puede ser tratada como un elemento, etc. Si se satisfacen las condiciones adecuadas no debería haber problemas. Piensa que un mismo objeto puede ser tratado como un elemento y a su vez como una propiedad, un conjunto ó incluso una clase, porqué no, todo va a depender del trato que le demos en el desarrollo lógico. No hemos definido conjunto ni clase pero habría que hacerlo en base a los elementos y sus propiedades, que van a ser siempre relaciones entre elementos. Hasta ahora no veo los problemas por ningún lado.

No pretendo de momento cear una nueva TC, me gusta tu idea de exponer las teorías actuales y poderlas comparar, pero andando despacito se aclara uno mejor.

Saludos, Jabato.

15 Agosto, 2009, 05:46 am
Respuesta #21

argentinator

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ZFC MK MK ;)  NBG

me gusta tu idea de exponer las teorías actuales y poderlas comparar

El motivo por el cual hice este hilo, y además lo dejo fijado, es porque he visto que en el foro se inician una y otra vez debates sobre cuestiones de lógica y teoría de conjuntos, y parecía que muchos conceptos quedaban en el aire, sin base clara o una referencia común.

Así que ahora todo el mundo puede hacer referencia a este thread y tomarlo como punto de partida común, claro y precisado.

También está la cuestión de que estos sistemas ZFC y MK son los que actualmente se usan como base para el trabajo matemático cotidiano.
¿En qué nos basamos cuando estamos hablando de tal o cual problema, ejercicio, definición, teorema o demostración? Respuesta: en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se detalla en este thread.

Sirve como material general de referencia para esto también, o sea, una herramienta.

Por eso tengo cierto recelo a desviarme demasiado de lo estándar (al menos en este hilo), porque si bien hay teorías alternativas de conjuntos que se están investigando, la verdad es que no se usan en la matemática del día a día.


15 Agosto, 2009, 06:13 am
Respuesta #22

Jabato

  • Visitante
Si, la verdad es que este tipo de debates son muy útiles para todos, ya que nos dan una panorámica extensa de los problemas relacionados, sirven para aclarar nuestra dudas y vemos muchos enfoques distintos de los problemas. Es una buena idea. Yo pretendí hacer algo parecido con los tensores, y todos sabeis como terminó la cosa por desgracia para mi, pero bueno olvidemos el asunto.

Saludos, Jabato.

17 Agosto, 2009, 02:35 am
Respuesta #23

argentinator

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ZFC MK MK ;)  NBG

A partir de aquí se había suscitado una discusión sobre qué diferencias había entre ZFC y MK.
Por sugerencia de LauLuna, y también porque me pareción conveniente, he separado esa discusión a un hilo aparte, accesible en este link:

¿Cual es la diferencia entre un conjunto en ZF y una clase en MK?

17 Agosto, 2009, 04:11 am
Respuesta #24

argentinator

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ZFC MK MK ;)  NBG

En la Respuesta#5 he agregado los Axiomas correspondientes al sistema NBG, y unos pocos comentarios.
El desarrollo riguroso requiere más teoría de lenguajes de primer orden, y al final Ivorra muestra que es lo mismo usar MK en lugar de NBG, que es una teoría más sencilla de manejar, o más cómoda.
Así que me quedo con ZFC y MK para usar en lo cotidiano, aunque seguramente habrá que volver sobre los detalles de NBG cuando hilemos más fino.

Saludos

18 Agosto, 2009, 12:06 am
Respuesta #25

argentinator

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26 Marzo, 2010, 04:43 pm
Respuesta #26

einys

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Se asume en la teoría axiomática que hay unos símbolos que representan objetos generales de ella, y unos signos que indican sus relaciones mutuas.
Habría que hacer toda la construcción de fórmulas lógicas antes de comenzar, pero no lo voy a hacer por ahora, así entramos directo en tema.

    Esos simbolos que representan objetos generales de ella y los otros las relaciones mutuas, implican que cualquier persona que se inicia en el estudio de cualquier tematica es necesario e imprescindible que conozca el significado de tales simbolos, puesto que si posee un entendimiento errado de la función que ejerce un signo por ende realizará y explicara equivocadamente el uso del mismo en los axiomas de la matematica.
   
   

26 Marzo, 2010, 09:00 pm
Respuesta #27

argentinator

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En la Universidad y en los colegios se enseña mucha matematica sin necesidad de ir hasta los fundamentos primeros del uso de los signos lógicos.

Hay hechos matematicos que se pueden razonar usando la comprensión intrínseca del tema que se estudia: análisis, geometría, álgebra, etc.

El cáculo de Newton funcionaba muy bien aún antes de que se le diera una estricta formulación lógico-matemática.
Lo mismo pasa con las series de Fourier, que revolucionaron la matematica y la física aún antes de que se eliminara el "error" de Fourier de pensar que "toda" función era aproximable por series trigonométricas.

Hay ideas que han sobrevivido a pesar de la falta de rigor, según lo que hoy se entiende por rigor lógico-matemático.

La teoría de conjuntos misma pudo desarrollarse a partir de Cantor en forma "intuitiva", y los hechos que Cantor descubrió siguen siendo ciertos aún hoy, y de gran importancia.

El rigor matemático es necesario que aparezca en situaciones extremas, a la hora de poder discernir si ciertos teoremas o ejemplos demasiado complejos o extraños aún tienen sentido.
Y si uno enseña que hablar de un "conjunto universal" es paradójico, se puede sobrevivir largo tiempo haciendo teoría de conjuntos sin entrar en el formalismo duro.

Cuando aparecen dudas en un argumento, u opiniones contrarias, se puede ir siendo cada vez más exactos en la escritura lógica de lo que uno está queriendo afirmar, y así dotar de más rigor a los argumentos, hasta dirimir la disputa.

Y en algún momento habrá que entrar en el detalle de los lenguajes formales y las reglas e interpretaciones de los signos lógicos.
Pero no creo que sea cierto que haya que "duchar" a todo el mundo en semejante mar de rigor.
No le veo ventajas pedagógicas, por ejemplo.

Tampoco creo que el rigor haga a la esencia de la matemática.

El rigor de los signos y los lenguajes es, según yo creo, una necesidad básica en la ciencia matemática de hoy día, pero que no interviene en la esencia o comprensión de los objetos matemáticos.

De la misma manera que el análisis exhaustivo de las reglas y mecánica interna de las oraciones y fonética del idioma castellano no intervienen en el uso cotidiano del mismo, ni en los mensajes que transmitimos a otras personas. No estamos todo el tiempo haciendo el trabajo de la Real Academia de la Lengua para poder usar la lengua.
Se hace necesario ser más precavido en ciertas situaciones, por ejemplo en cuestiones legales, o técnicas, y finalmente la mayor precisión del uso del idioma será asunto de escritores, críticos literarios, y estudiosos de la lengua. Pero no del público general que sólo la usa.

Yo pienso que la analogía con la matemática de esto es aplicable.
Uno puede usarla sin problemas, hasta que aparezca alguna ambigüedad que requiera mayor precisión. Siempre se puede hilar más fino, si se desea.

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Pero tarde o temprano uno cae siempre en discusiones filosóficas, si se pone a hilar fino.
Según lo que he visto a lo largo de los años, la visión griega de la matemática, al estilo platonista, o sea, de la matemática como estudio de ciertos objetos ideales, abstractos y perfectos, es algo que puede abordarse o enseñarse sin invocar todo el tiempo la exactitud de los signos de la lógica.

Y entonces me pregunto si acaso alguna vez, en un lejano futuro, cabe la posibilidad de que se descubra otra manera distinta de fundamentar la matemática, acercándose a una comprensión intuitiva de los objetos matemáticos.
Me refiero a que la precisión que requiere la matemática podría obtenerse, si hay suerte, por vía intuitiva, y no necesariamente por medio de signos escritos en un papel.

Fijate que los signos mismos de la lógica y las construcciones respectivas requieren que uno haga razonamientos sobre ellas.
Se llama metalógica y metalenguaje a esto.
Sobre esto uno debe hacer también formalización y aplicar rigor.
Pero no se puede usar el mismo lenguaje de primer orden para explicarse a sí mismo.
Se requiere de un meta-meta-lenguaje, y así por el estilo.

¿Y entonces, qué es lo que estamos haciendo?
Si los lenguajes y los metalenguajes se vuelven "materia de investigación" dentro de la matemática misma, ¿entonces cuál es el fundamento último de ella?

El esquema constructivista

SIGNOS ---> LENGUAJES ---> AXIOMAS LOGICOS ---> AXIOMAS MATEMATICOS (CONJUNTOS) ---> MATEMATICA

no me parece que sea la última palabra en el asunto.

Parece un esquema ideal, deseable, pero me pregunto si tal cosa es posible.
Después de todo, los LENGUAJES son estudiables dentro de la MATEMATICA, y se los debe estudiar "como en el aire".
Si se pretende formalizar, se termina en una construcción infinita hacia atrás, y la comprensión global total del asunto no se puede lograr con meros signos.

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Pero bueno. Todo esto es mi opinión en contra de lo que has dicho de que sin las fórmulas lógicas se obtiene un entendimiento errado de la matemática.
No creo que en la actualidad haya alguien capaz de entender completamente el "significado" de la matemática, de los signos, o de los axiomas.

¿O sí?  :banghead:

30 Marzo, 2010, 01:29 am
Respuesta #28

LauLuna

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Argentinator,

creo que tienes razón: la intuición matemática tiene la palabra en última instancia; no hay lenguaje en el que esa intuición pueda abdicar.

En su tiempo hubo dos razones para dar importancia a los lenguajes formales:

1. La influencia del Positivismo Lógico del Círculo de Viena, que afirmaba que la matemática era sólo convención lingüística (esto parece incompatible con el teorema de Gödel: segundo caso en la historia de una posición filosófica refutada por un teorema matemático; el primer caso fue la prueba de que raíz de 2 es irracional, desastroso según dicen para la visión pitagórica del mundo).

2. Las paradojas: se pensó que la formalización nos libraría de ellas de una manera natural. Probablemente lo ha hecho pero no de una manera natural ni mucho menos.

Esto recuerda a lo de Aquiles y la Tortuga de Carroll y Hofstadter. Aquiles propone un Modus Ponens:

1. Si p, entonces q.
2. p
3. Luego q.

La Tortuga lo convence de que es necesaria una premisa más que haga explícita la regla del Modus Ponens:

1. Si p, entonces q
2. p
3. Si tenemos 'si p, entonces q' y 'p', podemos derivar 'q'.

Pero claro con esta premisa la regla que hay que aplicar no es ya el Modus Ponens sino otra más compleja, que la Tortuga quiere ver también explicitada como premisa, etc., etc.

Claro, la conclusión permanece siempre inalcanzada por culpa de la manía de la explicitación exhaustiva. Según Hao Wang, Gödel mencionaba este ejemplo para defender que la intuición no puede sustituirse en última instancia por formalismos.

Un saludo.



30 Marzo, 2010, 03:46 am
Respuesta #29

argentinator

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Gusto verte después de tanto tiempo.

Por un lado me tranquiliza que estés un poco "en armonía" con lo que he dicho.

Pero en el fondo no me consuela del todo, porque me hubiera gustado que el proyecto de Hilbert fuera posible, una sistematización completa de la matemática, algo calculable mecánicamente, y que la cosa de "los fundamentos" se resuelva "de una vez por todas".
Pero no hubo suerte, parece.
 ::)

Saludos